Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3985 / 4707
↖ ↑ ↗
← S 25.918526°
W  4.877929°		 ← 4 394.99 m → S 25.918526°
W  4.833984°		 →
↑
4 394.27 m
↓
↑
4 394.27 m
↓
S 25.958045°
W  4.877929°		 ← 4 393.52 m →
19 309 545 m²		 S 25.958045°
W  4.833984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48651123046875 y=0.57464599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48651123046875 × 213)
    floor (0.48651123046875 × 8192)
    floor (3985.5)     		tx = 3985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57464599609375 × 213)
    floor (0.57464599609375 × 8192)
    floor (4707.5)     		ty = 4707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3985 / 4707 ti = "13/3985/4707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3985/4707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3985 ÷ 213
    3985 ÷ 8192     		x = 0.4864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4707 ÷ 213
    4707 ÷ 8192     		y = 0.5745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4864501953125 × 2 - 1) × π
    -0.027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08513593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.149169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.468631130685669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08513593} λ = -0.08513593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.468631130685669))-π/2
    2×atan(0.625858400542044)-π/2
    2×0.559216354007221-π/2
    1.11843270801444-1.57079632675     		φ = -0.45236362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08513593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.877929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45236362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.918526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3985 KachelY 4707 -0.08513593 -0.45236362 -4.877929 -25.918526
    Oben rechts KachelX + 1 3986 KachelY 4707 -0.08436894 -0.45236362 -4.833984 -25.918526
    Unten links KachelX 3985 KachelY + 1 4708 -0.08513593 -0.45305335 -4.877929 -25.958045
    Unten rechts KachelX + 1 3986 KachelY + 1 4708 -0.08436894 -0.45305335 -4.833984 -25.958045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45236362--0.45305335) × R
    0.00068973 × 6371000     		dl = 4394.26983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45236362--0.45305335) × R
    0.00068973 × 6371000     		dr = 4394.26983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08513593--0.08436894) × cos(-0.45236362) × R
    0.000766989999999995 × 0.899416494811696 × 6371000     		do = 4394.99266681265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08513593--0.08436894) × cos(-0.45305335) × R
    0.000766989999999995 × 0.89911480499604 × 6371000     		du = 4393.51846155278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45236362)-sin(-0.45305335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899416494811696-0.89911480499604)×R²
    abs(-0.08436894--0.08513593)×0.000301689815656037×R²
    0.000766989999999995×0.000301689815656037×6371000²
    0.000766989999999995×0.000301689815656037×40589641000000     		ar = 19309545.4165046m²