Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39846 / 41351
↖ ↑ ↗
← S 42.581399°
E 38.880615°		 ← 449.73 m → S 42.581399°
E 38.886108°		 →
↑
449.79 m
↓
↑
449.79 m
↓
S 42.585445°
E 38.880615°		 ← 449.70 m →
202 280 m²		 S 42.585445°
E 38.886108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608009338378906 y=0.630973815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608009338378906 × 216)
    floor (0.608009338378906 × 65536)
    floor (39846.5)     		tx = 39846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630973815917969 × 216)
    floor (0.630973815917969 × 65536)
    floor (41351.5)     		ty = 41351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39846 / 41351 ti = "16/39846/41351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39846/41351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39846 ÷ 216
    39846 ÷ 65536     		x = 0.608001708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41351 ÷ 216
    41351 ÷ 65536     		y = 0.630966186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608001708984375 × 2 - 1) × π
    0.21600341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67859475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630966186523438 × 2 - 1) × π
    -0.261932373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.822884818877884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67859475} λ = 0.67859475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822884818877884))-π/2
    2×atan(0.439162919869365)-π/2
    2×0.4138053511472-π/2
    0.827610702294401-1.57079632675     		φ = -0.74318562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67859475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.880615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74318562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.581399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39846 KachelY 41351 0.67859475 -0.74318562 38.880615 -42.581399
    Oben rechts KachelX + 1 39847 KachelY 41351 0.67869062 -0.74318562 38.886108 -42.581399
    Unten links KachelX 39846 KachelY + 1 41352 0.67859475 -0.74325622 38.880615 -42.585445
    Unten rechts KachelX + 1 39847 KachelY + 1 41352 0.67869062 -0.74325622 38.886108 -42.585445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74318562--0.74325622) × R
    7.06000000000317e-05 × 6371000     		dl = 449.792600000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74318562--0.74325622) × R
    7.06000000000317e-05 × 6371000     		dr = 449.792600000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67859475-0.67869062) × cos(-0.74318562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.7363167902548 × 6371000     		do = 449.733290333277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67859475-0.67869062) × cos(-0.74325622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.736269017849973 × 6371000     		du = 449.704111532665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74318562)-sin(-0.74325622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7363167902548-0.736269017849973)×R²
    abs(0.67869062-0.67859475)×4.77724048267847e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77724048267847e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77724048267847e-05×40589641000000     		ar = 202280.143845244m²