Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39844 / 41315
↖ ↑ ↗
← S 42.435620°
E 38.869629°		 ← 450.83 m → S 42.435620°
E 38.875122°		 →
↑
450.81 m
↓
↑
450.81 m
↓
S 42.439674°
E 38.869629°		 ← 450.80 m →
203 233 m²		 S 42.439674°
E 38.875122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607978820800781 y=0.630424499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607978820800781 × 216)
    floor (0.607978820800781 × 65536)
    floor (39844.5)     		tx = 39844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630424499511719 × 216)
    floor (0.630424499511719 × 65536)
    floor (41315.5)     		ty = 41315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39844 / 41315 ti = "16/39844/41315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39844/41315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39844 ÷ 216
    39844 ÷ 65536     		x = 0.60797119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41315 ÷ 216
    41315 ÷ 65536     		y = 0.630416870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60797119140625 × 2 - 1) × π
    0.2159423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67840300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630416870117188 × 2 - 1) × π
    -0.260833740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.81943336210524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67840300} λ = 0.67840300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81943336210524))-π/2
    2×atan(0.440681290491419)-π/2
    2×0.415077517477795-π/2
    0.830155034955589-1.57079632675     		φ = -0.74064129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67840300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.869629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74064129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.435620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39844 KachelY 41315 0.67840300 -0.74064129 38.869629 -42.435620
    Oben rechts KachelX + 1 39845 KachelY 41315 0.67849888 -0.74064129 38.875122 -42.435620
    Unten links KachelX 39844 KachelY + 1 41316 0.67840300 -0.74071205 38.869629 -42.439674
    Unten rechts KachelX + 1 39845 KachelY + 1 41316 0.67849888 -0.74071205 38.875122 -42.439674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74064129--0.74071205) × R
    7.07599999999475e-05 × 6371000     		dl = 450.811959999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74064129--0.74071205) × R
    7.07599999999475e-05 × 6371000     		dr = 450.811959999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67840300-0.67849888) × cos(-0.74064129) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.738035992815729 × 6371000     		do = 450.830378504984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67840300-0.67849888) × cos(-0.74071205) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.7379882448553 × 6371000     		du = 450.801211592689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74064129)-sin(-0.74071205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738035992815729-0.7379882448553)×R²
    abs(0.67849888-0.67840300)×4.77479604287234e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77479604287234e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77479604287234e-05×40589641000000     		ar = 203233.152249741m²