Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3984 / 4706
↖ ↑ ↗
← S 25.878994°
W  4.921875°		 ← 4 396.47 m → S 25.878994°
W  4.877929°		 →
↑
4 395.74 m
↓
↑
4 395.74 m
↓
S 25.918526°
W  4.921875°		 ← 4 394.99 m →
19 322 461 m²		 S 25.918526°
W  4.877929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48638916015625 y=0.57452392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48638916015625 × 213)
    floor (0.48638916015625 × 8192)
    floor (3984.5)     		tx = 3984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57452392578125 × 213)
    floor (0.57452392578125 × 8192)
    floor (4706.5)     		ty = 4706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3984 / 4706 ti = "13/3984/4706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3984/4706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3984 ÷ 213
    3984 ÷ 8192     		x = 0.486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4706 ÷ 213
    4706 ÷ 8192     		y = 0.574462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486328125 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.14892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.467864140291748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08590292} λ = -0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467864140291748))-π/2
    2×atan(0.626338612058484)-π/2
    2×0.559561333709165-π/2
    1.11912266741833-1.57079632675     		φ = -0.45167366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45167366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.878994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3984 KachelY 4706 -0.08590292 -0.45167366 -4.921875 -25.878994
    Oben rechts KachelX + 1 3985 KachelY 4706 -0.08513593 -0.45167366 -4.877929 -25.878994
    Unten links KachelX 3984 KachelY + 1 4707 -0.08590292 -0.45236362 -4.921875 -25.918526
    Unten rechts KachelX + 1 3985 KachelY + 1 4707 -0.08513593 -0.45236362 -4.877929 -25.918526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45167366--0.45236362) × R
    0.000689960000000045 × 6371000     		dl = 4395.73516000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45167366--0.45236362) × R
    0.000689960000000045 × 6371000     		dr = 4395.73516000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08590292--0.08513593) × cos(-0.45167366) × R
    0.000766989999999995 × 0.899717857138809 × 6371000     		do = 4396.46527180194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08590292--0.08513593) × cos(-0.45236362) × R
    0.000766989999999995 × 0.899416494811696 × 6371000     		du = 4394.99266681265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45167366)-sin(-0.45236362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899717857138809-0.899416494811696)×R²
    abs(-0.08513593--0.08590292)×0.000301362327113086×R²
    0.000766989999999995×0.000301362327113086×6371000²
    0.000766989999999995×0.000301362327113086×40589641000000     		ar = 19322461.1507459m²