Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39839 / 19360
↖ ↑ ↗
← N 77.523122°
W 70.578918°		 ← 65.99 m → N 77.523122°
W 70.576172°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.522528°
W 70.578918°		 ← 65.99 m →
4 355 m²		 N 77.522528°
W 70.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303951263427734 y=0.147708892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303951263427734 × 217)
    floor (0.303951263427734 × 131072)
    floor (39839.5)     		tx = 39839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147708892822266 × 217)
    floor (0.147708892822266 × 131072)
    floor (19360.5)     		ty = 19360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39839 / 19360 ti = "17/39839/19360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39839/19360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39839 ÷ 217
    39839 ÷ 131072     		x = 0.303947448730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19360 ÷ 217
    19360 ÷ 131072     		y = 0.147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303947448730469 × 2 - 1) × π
    -0.392105102539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.23183451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147705078125 × 2 - 1) × π
    0.70458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21353427685571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23183451} λ = -1.23183451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21353427685571))-π/2
    2×atan(9.14799085836406)-π/2
    2×1.46191502422244-π/2
    2.92383004844488-1.57079632675     		φ = 1.35303372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23183451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.578918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35303372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.523122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39839 KachelY 19360 -1.23183451 1.35303372 -70.578918 77.523122
    Oben rechts KachelX + 1 39840 KachelY 19360 -1.23178657 1.35303372 -70.576172 77.523122
    Unten links KachelX 39839 KachelY + 1 19361 -1.23183451 1.35302336 -70.578918 77.522528
    Unten rechts KachelX + 1 39840 KachelY + 1 19361 -1.23178657 1.35302336 -70.576172 77.522528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35303372-1.35302336) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dl = 66.0035600006248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35303372-1.35302336) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dr = 66.0035600006248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23183451--1.23178657) × cos(1.35303372) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.21604561235987 × 6371000     		do = 65.9858910290289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23183451--1.23178657) × cos(1.35302336) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.216055727678972 × 6371000     		du = 65.9889805078508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35303372)-sin(1.35302336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21604561235987-0.216055727678972)×R²
    abs(-1.23178657--1.23183451)×1.01153191013614e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.01153191013614e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.01153191013614e-05×40589641000000     		ar = 4355.40567596959m²