Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39833 / 41431
↖ ↑ ↗
← S 42.904136°
E 38.809204°		 ← 447.44 m → S 42.904136°
E 38.814698°		 →
↑
447.44 m
↓
↑
447.44 m
↓
S 42.908160°
E 38.809204°		 ← 447.42 m →
200 196 m²		 S 42.908160°
E 38.814698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607810974121094 y=0.632194519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607810974121094 × 216)
    floor (0.607810974121094 × 65536)
    floor (39833.5)     		tx = 39833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632194519042969 × 216)
    floor (0.632194519042969 × 65536)
    floor (41431.5)     		ty = 41431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39833 / 41431 ti = "16/39833/41431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39833/41431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39833 ÷ 216
    39833 ÷ 65536     		x = 0.607803344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41431 ÷ 216
    41431 ÷ 65536     		y = 0.632186889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607803344726562 × 2 - 1) × π
    0.215606689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67734839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632186889648438 × 2 - 1) × π
    -0.264373779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.830554722817093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67734839} λ = 0.67734839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830554722817093))-π/2
    2×atan(0.435807466910609)-π/2
    2×0.410988941125459-π/2
    0.821977882250918-1.57079632675     		φ = -0.74881844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67734839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.809204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74881844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.904136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39833 KachelY 41431 0.67734839 -0.74881844 38.809204 -42.904136
    Oben rechts KachelX + 1 39834 KachelY 41431 0.67744427 -0.74881844 38.814698 -42.904136
    Unten links KachelX 39833 KachelY + 1 41432 0.67734839 -0.74888867 38.809204 -42.908160
    Unten rechts KachelX + 1 39834 KachelY + 1 41432 0.67744427 -0.74888867 38.814698 -42.908160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74881844--0.74888867) × R
    7.023000000006e-05 × 6371000     		dl = 447.435330000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74881844--0.74888867) × R
    7.023000000006e-05 × 6371000     		dr = 447.435330000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67734839-0.67744427) × cos(-0.74881844) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.732493755030199 × 6371000     		do = 447.444894350661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67734839-0.67744427) × cos(-0.74888867) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.732445942483346 × 6371000     		du = 447.415687985653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74881844)-sin(-0.74888867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732493755030199-0.732445942483346)×R²
    abs(0.67744427-0.67734839)×4.78125468532653e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78125468532653e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78125468532653e-05×40589641000000     		ar = 200196.120063172m²