Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39832 / 41432
↖ ↑ ↗
← S 42.908160°
E 38.803711°		 ← 447.37 m → S 42.908160°
E 38.809204°		 →
↑
447.37 m
↓
↑
447.37 m
↓
S 42.912183°
E 38.803711°		 ← 447.34 m →
200 134 m²		 S 42.912183°
E 38.809204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607795715332031 y=0.632209777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607795715332031 × 216)
    floor (0.607795715332031 × 65536)
    floor (39832.5)     		tx = 39832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632209777832031 × 216)
    floor (0.632209777832031 × 65536)
    floor (41432.5)     		ty = 41432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39832 / 41432 ti = "16/39832/41432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39832/41432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39832 ÷ 216
    39832 ÷ 65536     		x = 0.6077880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41432 ÷ 216
    41432 ÷ 65536     		y = 0.6322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6077880859375 × 2 - 1) × π
    0.215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67725252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6322021484375 × 2 - 1) × π
    -0.264404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.830650596616333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67725252} λ = 0.67725252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830650596616333))-π/2
    2×atan(0.43576568639588)-π/2
    2×0.410953828791904-π/2
    0.821907657583808-1.57079632675     		φ = -0.74888867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67725252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.803711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74888867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.908160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39832 KachelY 41432 0.67725252 -0.74888867 38.803711 -42.908160
    Oben rechts KachelX + 1 39833 KachelY 41432 0.67734839 -0.74888867 38.809204 -42.908160
    Unten links KachelX 39832 KachelY + 1 41433 0.67725252 -0.74895889 38.803711 -42.912183
    Unten rechts KachelX + 1 39833 KachelY + 1 41433 0.67734839 -0.74895889 38.809204 -42.912183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74888867--0.74895889) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dl = 447.371620000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74888867--0.74895889) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dr = 447.371620000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67725252-0.67734839) × cos(-0.74888867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732445942483346 × 6371000     		do = 447.369023854941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67725252-0.67734839) × cos(-0.74895889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73239813313265 × 6371000     		du = 447.339822488245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74888867)-sin(-0.74895889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732445942483346-0.73239813313265)×R²
    abs(0.67734839-0.67725252)×4.78093506957045e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78093506957045e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78093506957045e-05×40589641000000     		ar = 200133.673090834m²