Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3983 / 4705
↖ ↑ ↗
← S 25.839449°
W  4.965820°		 ← 4 397.94 m → S 25.839449°
W  4.921875°		 →
↑
4 397.20 m
↓
↑
4 397.20 m
↓
S 25.878994°
W  4.965820°		 ← 4 396.47 m →
19 335 374 m²		 S 25.878994°
W  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48626708984375 y=0.57440185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48626708984375 × 213)
    floor (0.48626708984375 × 8192)
    floor (3983.5)     		tx = 3983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57440185546875 × 213)
    floor (0.57440185546875 × 8192)
    floor (4705.5)     		ty = 4705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3983 / 4705 ti = "13/3983/4705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3983/4705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3983 ÷ 213
    3983 ÷ 8192     		x = 0.4862060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4705 ÷ 213
    4705 ÷ 8192     		y = 0.5743408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4862060546875 × 2 - 1) × π
    -0.027587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08666991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5743408203125 × 2 - 1) × π
    -0.148681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.467097149897827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08666991} λ = -0.08666991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467097149897827))-π/2
    2×atan(0.626819192033827)-π/2
    2×0.559906428919215-π/2
    1.11981285783843-1.57079632675     		φ = -0.45098347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08666991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45098347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.839449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3983 KachelY 4705 -0.08666991 -0.45098347 -4.965820 -25.839449
    Oben rechts KachelX + 1 3984 KachelY 4705 -0.08590292 -0.45098347 -4.921875 -25.839449
    Unten links KachelX 3983 KachelY + 1 4706 -0.08666991 -0.45167366 -4.965820 -25.878994
    Unten rechts KachelX + 1 3984 KachelY + 1 4706 -0.08590292 -0.45167366 -4.921875 -25.878994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45098347--0.45167366) × R
    0.000690189999999979 × 6371000     		dl = 4397.20048999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45098347--0.45167366) × R
    0.000690189999999979 × 6371000     		dr = 4397.20048999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08666991--0.08590292) × cos(-0.45098347) × R
    0.000766990000000009 × 0.900018891405658 × 6371000     		do = 4397.93627372704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08666991--0.08590292) × cos(-0.45167366) × R
    0.000766990000000009 × 0.899717857138809 × 6371000     		du = 4396.46527180202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45098347)-sin(-0.45167366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900018891405658-0.899717857138809)×R²
    abs(-0.08590292--0.08666991)×0.000301034266848799×R²
    0.000766990000000009×0.000301034266848799×6371000²
    0.000766990000000009×0.000301034266848799×40589641000000     		ar = 19335374.1601815m²