Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39828 / 41427
↖ ↑ ↗
← S 42.888040°
E 38.781738°		 ← 447.56 m → S 42.888040°
E 38.787232°		 →
↑
447.50 m
↓
↑
447.50 m
↓
S 42.892064°
E 38.781738°		 ← 447.53 m →
200 277 m²		 S 42.892064°
E 38.787232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607734680175781 y=0.632133483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607734680175781 × 216)
    floor (0.607734680175781 × 65536)
    floor (39828.5)     		tx = 39828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632133483886719 × 216)
    floor (0.632133483886719 × 65536)
    floor (41427.5)     		ty = 41427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39828 / 41427 ti = "16/39828/41427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39828/41427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39828 ÷ 216
    39828 ÷ 65536     		x = 0.60772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41427 ÷ 216
    41427 ÷ 65536     		y = 0.632125854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60772705078125 × 2 - 1) × π
    0.2154541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67686902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632125854492188 × 2 - 1) × π
    -0.264251708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.830171227620133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67686902} λ = 0.67686902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830171227620133))-π/2
    2×atan(0.435974629031856)-π/2
    2×0.411129413377438-π/2
    0.822258826754876-1.57079632675     		φ = -0.74853750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67686902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.781738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74853750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.888040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39828 KachelY 41427 0.67686902 -0.74853750 38.781738 -42.888040
    Oben rechts KachelX + 1 39829 KachelY 41427 0.67696490 -0.74853750 38.787232 -42.888040
    Unten links KachelX 39828 KachelY + 1 41428 0.67686902 -0.74860774 38.781738 -42.892064
    Unten rechts KachelX + 1 39829 KachelY + 1 41428 0.67696490 -0.74860774 38.787232 -42.892064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74853750--0.74860774) × R
    7.02399999999992e-05 × 6371000     		dl = 447.499039999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74853750--0.74860774) × R
    7.02399999999992e-05 × 6371000     		dr = 447.499039999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67686902-0.67696490) × cos(-0.74853750) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.732684982698169 × 6371000     		do = 447.561706054657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67686902-0.67696490) × cos(-0.74860774) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.732637177798944 × 6371000     		du = 447.532504361214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74853750)-sin(-0.74860774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732684982698169-0.732637177798944)×R²
    abs(0.67696490-0.67686902)×4.7804899225512e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7804899225512e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7804899225512e-05×40589641000000     		ar = 200276.900017374m²