Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39828 / 32636
↖ ↑ ↗
← N 66.657331°
W 70.609131°		 ← 121.02 m → N 66.657331°
W 70.606384°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
N 66.656243°
W 70.609131°		 ← 121.02 m →
14 642 m²		 N 66.656243°
W 70.606384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303867340087891 y=0.248996734619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303867340087891 × 217)
    floor (0.303867340087891 × 131072)
    floor (39828.5)     		tx = 39828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248996734619141 × 217)
    floor (0.248996734619141 × 131072)
    floor (32636.5)     		ty = 32636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39828 / 32636 ti = "17/39828/32636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39828/32636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39828 ÷ 217
    39828 ÷ 131072     		x = 0.303863525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32636 ÷ 217
    32636 ÷ 131072     		y = 0.248992919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303863525390625 × 2 - 1) × π
    -0.39227294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.23236182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248992919921875 × 2 - 1) × π
    0.50201416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57712399749985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23236182} λ = -1.23236182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57712399749985))-π/2
    2×atan(4.8410130055687)-π/2
    2×1.36709311069669-π/2
    2.73418622139339-1.57079632675     		φ = 1.16338989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23236182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.609131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16338989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.657331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39828 KachelY 32636 -1.23236182 1.16338989 -70.609131 66.657331
    Oben rechts KachelX + 1 39829 KachelY 32636 -1.23231388 1.16338989 -70.606384 66.657331
    Unten links KachelX 39828 KachelY + 1 32637 -1.23236182 1.16337090 -70.609131 66.656243
    Unten rechts KachelX + 1 39829 KachelY + 1 32637 -1.23231388 1.16337090 -70.606384 66.656243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16338989-1.16337090) × R
    1.898999999983e-05 × 6371000     		dl = 120.985289998917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16338989-1.16337090) × R
    1.898999999983e-05 × 6371000     		dr = 120.985289998917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23236182--1.23231388) × cos(1.16338989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396229379194338 × 6371000     		do = 121.018651350092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23236182--1.23231388) × cos(1.16337090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396246814820933 × 6371000     		du = 121.023976639247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16338989)-sin(1.16337090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396229379194338-0.396246814820933)×R²
    abs(-1.23231388--1.23236182)×1.74356265956188e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74356265956188e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74356265956188e-05×40589641000000     		ar = 14641.7987701814m²