Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39827 / 41439
↖ ↑ ↗
← S 42.936318°
E 38.776245°		 ← 447.16 m → S 42.936318°
E 38.781738°		 →
↑
447.18 m
↓
↑
447.18 m
↓
S 42.940339°
E 38.776245°		 ← 447.14 m →
199 957 m²		 S 42.940339°
E 38.781738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607719421386719 y=0.632316589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607719421386719 × 216)
    floor (0.607719421386719 × 65536)
    floor (39827.5)     		tx = 39827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632316589355469 × 216)
    floor (0.632316589355469 × 65536)
    floor (41439.5)     		ty = 41439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39827 / 41439 ti = "16/39827/41439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39827/41439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39827 ÷ 216
    39827 ÷ 65536     		x = 0.607711791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41439 ÷ 216
    41439 ÷ 65536     		y = 0.632308959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607711791992188 × 2 - 1) × π
    0.215423583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67677315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632308959960938 × 2 - 1) × π
    -0.264617919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.831321713211014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67677315} λ = 0.67677315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831321713211014))-π/2
    2×atan(0.435473334924282)-π/2
    2×0.410708106629375-π/2
    0.82141621325875-1.57079632675     		φ = -0.74938011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67677315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.776245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74938011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.936318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39827 KachelY 41439 0.67677315 -0.74938011 38.776245 -42.936318
    Oben rechts KachelX + 1 39828 KachelY 41439 0.67686902 -0.74938011 38.781738 -42.936318
    Unten links KachelX 39827 KachelY + 1 41440 0.67677315 -0.74945030 38.776245 -42.940339
    Unten rechts KachelX + 1 39828 KachelY + 1 41440 0.67686902 -0.74945030 38.781738 -42.940339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74938011--0.74945030) × R
    7.018999999997e-05 × 6371000     		dl = 447.180489999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74938011--0.74945030) × R
    7.018999999997e-05 × 6371000     		dr = 447.180489999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67677315-0.67686902) × cos(-0.74938011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732111269317011 × 6371000     		do = 447.164609577997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67677315-0.67686902) × cos(-0.74945030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732063455134092 × 6371000     		du = 447.135405259838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74938011)-sin(-0.74945030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732111269317011-0.732063455134092)×R²
    abs(0.67686902-0.67677315)×4.78141829187706e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78141829187706e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78141829187706e-05×40589641000000     		ar = 199956.759503057m²