Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39826 / 41426
↖ ↑ ↗
← S 42.884015°
E 38.770752°		 ← 447.54 m → S 42.884015°
E 38.776245°		 →
↑
447.56 m
↓
↑
447.56 m
↓
S 42.888040°
E 38.770752°		 ← 447.52 m →
200 298 m²		 S 42.888040°
E 38.776245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607704162597656 y=0.632118225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607704162597656 × 216)
    floor (0.607704162597656 × 65536)
    floor (39826.5)     		tx = 39826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632118225097656 × 216)
    floor (0.632118225097656 × 65536)
    floor (41426.5)     		ty = 41426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39826 / 41426 ti = "16/39826/41426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39826/41426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39826 ÷ 216
    39826 ÷ 65536     		x = 0.607696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41426 ÷ 216
    41426 ÷ 65536     		y = 0.632110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607696533203125 × 2 - 1) × π
    0.21539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67667728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632110595703125 × 2 - 1) × π
    -0.26422119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.830075353820892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67667728} λ = 0.67667728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830075353820892))-π/2
    2×atan(0.43601642957967)-π/2
    2×0.411164537169754-π/2
    0.822329074339508-1.57079632675     		φ = -0.74846725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67667728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.770752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74846725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.884015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39826 KachelY 41426 0.67667728 -0.74846725 38.770752 -42.884015
    Oben rechts KachelX + 1 39827 KachelY 41426 0.67677315 -0.74846725 38.776245 -42.884015
    Unten links KachelX 39826 KachelY + 1 41427 0.67667728 -0.74853750 38.770752 -42.888040
    Unten rechts KachelX + 1 39827 KachelY + 1 41427 0.67677315 -0.74853750 38.776245 -42.888040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74846725--0.74853750) × R
    7.02499999999384e-05 × 6371000     		dl = 447.562749999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74846725--0.74853750) × R
    7.02499999999384e-05 × 6371000     		dr = 447.562749999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67667728-0.67677315) × cos(-0.74846725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732732790787743 × 6371000     		do = 447.544227291112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67667728-0.67677315) × cos(-0.74853750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732684982698169 × 6371000     		du = 447.515026694693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74846725)-sin(-0.74853750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732732790787743-0.732684982698169)×R²
    abs(0.67677315-0.67667728)×4.78080895734978e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78080895734978e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78080895734978e-05×40589641000000     		ar = 200297.590645683m²