Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3982 / 2702
↖ ↑ ↗
← N 76.111349°
W 92.504883°		 ← 586.47 m → N 76.111349°
W 92.482910°		 →
↑
586.58 m
↓
↑
586.58 m
↓
N 76.106073°
W 92.504883°		 ← 586.69 m →
344 077 m²		 N 76.106073°
W 92.482910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243072509765625 y=0.164947509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243072509765625 × 214)
    floor (0.243072509765625 × 16384)
    floor (3982.5)     		tx = 3982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164947509765625 × 214)
    floor (0.164947509765625 × 16384)
    floor (2702.5)     		ty = 2702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3982 / 2702 ti = "14/3982/2702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3982/2702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3982 ÷ 214
    3982 ÷ 16384     		x = 0.2430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2702 ÷ 214
    2702 ÷ 16384     		y = 0.1649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.513916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.61451478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1649169921875 × 2 - 1) × π
    0.670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10538863131287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61451478} λ = -1.61451478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10538863131287))-π/2
    2×atan(8.21029316667057)-π/2
    2×1.44959497761654-π/2
    2.89918995523307-1.57079632675     		φ = 1.32839363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61451478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.504883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32839363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.111349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3982 KachelY 2702 -1.61451478 1.32839363 -92.504883 76.111349
    Oben rechts KachelX + 1 3983 KachelY 2702 -1.61413128 1.32839363 -92.482910 76.111349
    Unten links KachelX 3982 KachelY + 1 2703 -1.61451478 1.32830156 -92.504883 76.106073
    Unten rechts KachelX + 1 3983 KachelY + 1 2703 -1.61413128 1.32830156 -92.482910 76.106073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32839363-1.32830156) × R
    9.20699999999997e-05 × 6371000     		dl = 586.577969999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32839363-1.32830156) × R
    9.20699999999997e-05 × 6371000     		dr = 586.577969999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61451478--1.61413128) × cos(1.32839363) × R
    0.00038349999999987 × 0.240035768697975 × 6371000     		do = 586.474232890537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61451478--1.61413128) × cos(1.32830156) × R
    0.00038349999999987 × 0.240125145926032 × 6371000     		du = 586.692606350237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32839363)-sin(1.32830156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240035768697975-0.240125145926032)×R²
    abs(-1.61413128--1.61451478)×8.93772280565475e-05×R²
    0.00038349999999987×8.93772280565475e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.93772280565475e-05×40589641000000     		ar = 344076.911759292m²