Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39819 / 32634
↖ ↑ ↗
← N 66.659507°
W 70.633850°		 ← 121.01 m → N 66.659507°
W 70.631103°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
N 66.658419°
W 70.633850°		 ← 121.01 m →
14 641 m²		 N 66.658419°
W 70.631103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303798675537109 y=0.248981475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303798675537109 × 217)
    floor (0.303798675537109 × 131072)
    floor (39819.5)     		tx = 39819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248981475830078 × 217)
    floor (0.248981475830078 × 131072)
    floor (32634.5)     		ty = 32634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39819 / 32634 ti = "17/39819/32634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39819/32634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39819 ÷ 217
    39819 ÷ 131072     		x = 0.303794860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32634 ÷ 217
    32634 ÷ 131072     		y = 0.248977661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303794860839844 × 2 - 1) × π
    -0.392410278320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.23279325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248977661132812 × 2 - 1) × π
    0.502044677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.57721987129909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23279325} λ = -1.23279325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57721987129909))-π/2
    2×atan(4.8414771541272)-π/2
    2×1.3671121038685-π/2
    2.734224207737-1.57079632675     		φ = 1.16342788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23279325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.633850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16342788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.659507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39819 KachelY 32634 -1.23279325 1.16342788 -70.633850 66.659507
    Oben rechts KachelX + 1 39820 KachelY 32634 -1.23274531 1.16342788 -70.631103 66.659507
    Unten links KachelX 39819 KachelY + 1 32635 -1.23279325 1.16340889 -70.633850 66.658419
    Unten rechts KachelX + 1 39820 KachelY + 1 32635 -1.23274531 1.16340889 -70.631103 66.658419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16342788-1.16340889) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16342788-1.16340889) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23279325--1.23274531) × cos(1.16342788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396194498330821 × 6371000     		do = 121.007997836541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23279325--1.23274531) × cos(1.16340889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396211934243263 × 6371000     		du = 121.013323213001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16342788)-sin(1.16340889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396194498330821-0.396211934243263)×R²
    abs(-1.23274531--1.23279325)×1.74359124412993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74359124412993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74359124412993e-05×40589641000000     		ar = 14640.5098571732m²