Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39814 / 41349
↖ ↑ ↗
← S 42.573310°
E 38.704834°		 ← 449.79 m → S 42.573310°
E 38.710327°		 →
↑
449.79 m
↓
↑
449.79 m
↓
S 42.577355°
E 38.704834°		 ← 449.76 m →
202 306 m²		 S 42.577355°
E 38.710327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607521057128906 y=0.630943298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607521057128906 × 216)
    floor (0.607521057128906 × 65536)
    floor (39814.5)     		tx = 39814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630943298339844 × 216)
    floor (0.630943298339844 × 65536)
    floor (41349.5)     		ty = 41349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39814 / 41349 ti = "16/39814/41349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39814/41349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39814 ÷ 216
    39814 ÷ 65536     		x = 0.607513427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41349 ÷ 216
    41349 ÷ 65536     		y = 0.630935668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607513427734375 × 2 - 1) × π
    0.21502685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67552679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630935668945312 × 2 - 1) × π
    -0.261871337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.822693071279404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67552679} λ = 0.67552679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822693071279404))-π/2
    2×atan(0.43924713637849)-π/2
    2×0.413875949214521-π/2
    0.827751898429043-1.57079632675     		φ = -0.74304443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67552679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.704834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74304443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.573310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39814 KachelY 41349 0.67552679 -0.74304443 38.704834 -42.573310
    Oben rechts KachelX + 1 39815 KachelY 41349 0.67562266 -0.74304443 38.710327 -42.573310
    Unten links KachelX 39814 KachelY + 1 41350 0.67552679 -0.74311503 38.704834 -42.577355
    Unten rechts KachelX + 1 39815 KachelY + 1 41350 0.67562266 -0.74311503 38.710327 -42.577355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74304443--0.74311503) × R
    7.06000000000317e-05 × 6371000     		dl = 449.792600000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74304443--0.74311503) × R
    7.06000000000317e-05 × 6371000     		dr = 449.792600000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67552679-0.67562266) × cos(-0.74304443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.736412317288681 × 6371000     		do = 449.791637077276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67552679-0.67562266) × cos(-0.74311503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.736364552223709 × 6371000     		du = 449.762462759758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74304443)-sin(-0.74311503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736412317288681-0.736364552223709)×R²
    abs(0.67562266-0.67552679)×4.77650649727268e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77650649727268e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77650649727268e-05×40589641000000     		ar = 202306.388787444m²