Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39813 / 41356
↖ ↑ ↗
← S 42.601620°
E 38.699341°		 ← 449.59 m → S 42.601620°
E 38.704834°		 →
↑
449.60 m
↓
↑
449.60 m
↓
S 42.605663°
E 38.699341°		 ← 449.56 m →
202 129 m²		 S 42.605663°
E 38.704834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607505798339844 y=0.631050109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607505798339844 × 216)
    floor (0.607505798339844 × 65536)
    floor (39813.5)     		tx = 39813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631050109863281 × 216)
    floor (0.631050109863281 × 65536)
    floor (41356.5)     		ty = 41356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39813 / 41356 ti = "16/39813/41356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39813/41356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39813 ÷ 216
    39813 ÷ 65536     		x = 0.607498168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41356 ÷ 216
    41356 ÷ 65536     		y = 0.63104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607498168945312 × 2 - 1) × π
    0.214996337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67543092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.2620849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.823364187874084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67543092} λ = 0.67543092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823364187874084))-π/2
    2×atan(0.438952449231878)-π/2
    2×0.413628896050206-π/2
    0.827257792100413-1.57079632675     		φ = -0.74353853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67543092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.699341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74353853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.601620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39813 KachelY 41356 0.67543092 -0.74353853 38.699341 -42.601620
    Oben rechts KachelX + 1 39814 KachelY 41356 0.67552679 -0.74353853 38.704834 -42.601620
    Unten links KachelX 39813 KachelY + 1 41357 0.67543092 -0.74360910 38.699341 -42.605663
    Unten rechts KachelX + 1 39814 KachelY + 1 41357 0.67552679 -0.74360910 38.704834 -42.605663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74353853--0.74360910) × R
    7.0569999999992e-05 × 6371000     		dl = 449.601469999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74353853--0.74360910) × R
    7.0569999999992e-05 × 6371000     		dr = 449.601469999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67543092-0.67552679) × cos(-0.74353853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.736077952455461 × 6371000     		do = 449.587411126427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67543092-0.67552679) × cos(-0.74360910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.736030182017006 × 6371000     		du = 449.558233526851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74353853)-sin(-0.74360910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736077952455461-0.736030182017006)×R²
    abs(0.67552679-0.67543092)×4.77704384556077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77704384556077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77704384556077e-05×40589641000000     		ar = 202128.601874226m²