Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39810 / 41354
↖ ↑ ↗
← S 42.593532°
E 38.682861°		 ← 449.69 m → S 42.593532°
E 38.688355°		 →
↑
449.67 m
↓
↑
449.67 m
↓
S 42.597576°
E 38.682861°		 ← 449.66 m →
202 205 m²		 S 42.597576°
E 38.688355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607460021972656 y=0.631019592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607460021972656 × 216)
    floor (0.607460021972656 × 65536)
    floor (39810.5)     		tx = 39810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631019592285156 × 216)
    floor (0.631019592285156 × 65536)
    floor (41354.5)     		ty = 41354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39810 / 41354 ti = "16/39810/41354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39810/41354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39810 ÷ 216
    39810 ÷ 65536     		x = 0.607452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41354 ÷ 216
    41354 ÷ 65536     		y = 0.631011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607452392578125 × 2 - 1) × π
    0.21490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67514329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631011962890625 × 2 - 1) × π
    -0.26202392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.823172440275604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67514329} λ = 0.67514329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823172440275604))-π/2
    2×atan(0.439036625379894)-π/2
    2×0.4136994712195-π/2
    0.827398942439001-1.57079632675     		φ = -0.74339738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67514329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.682861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74339738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.593532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39810 KachelY 41354 0.67514329 -0.74339738 38.682861 -42.593532
    Oben rechts KachelX + 1 39811 KachelY 41354 0.67523917 -0.74339738 38.688355 -42.593532
    Unten links KachelX 39810 KachelY + 1 41355 0.67514329 -0.74346796 38.682861 -42.597576
    Unten rechts KachelX + 1 39811 KachelY + 1 41355 0.67523917 -0.74346796 38.688355 -42.597576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74339738--0.74346796) × R
    7.05800000000423e-05 × 6371000     		dl = 449.665180000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74339738--0.74346796) × R
    7.05800000000423e-05 × 6371000     		dr = 449.665180000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67514329-0.67523917) × cos(-0.74339738) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.736173489102783 × 6371000     		do = 449.692665355425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67514329-0.67523917) × cos(-0.74346796) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.736125719228157 × 6371000     		du = 449.66348505681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74339738)-sin(-0.74346796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736173489102783-0.736125719228157)×R²
    abs(0.67523917-0.67514329)×4.77698746262911e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77698746262911e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77698746262911e-05×40589641000000     		ar = 202204.572713656m²