Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3981 / 4702
↖ ↑ ↗
← S 25.720735°
W  5.053711°		 ← 4 402.40 m → S 25.720735°
W  5.009765°		 →
↑
4 401.66 m
↓
↑
4 401.66 m
↓
S 25.760320°
W  5.053711°		 ← 4 400.93 m →
19 374 630 m²		 S 25.760320°
W  5.009765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48602294921875 y=0.57403564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48602294921875 × 213)
    floor (0.48602294921875 × 8192)
    floor (3981.5)     		tx = 3981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57403564453125 × 213)
    floor (0.57403564453125 × 8192)
    floor (4702.5)     		ty = 4702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3981 / 4702 ti = "13/3981/4702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3981/4702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3981 ÷ 213
    3981 ÷ 8192     		x = 0.4859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4702 ÷ 213
    4702 ÷ 8192     		y = 0.573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4859619140625 × 2 - 1) × π
    -0.028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08820390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.14794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.464796178716064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08820390} λ = -0.08820390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464796178716064))-π/2
    2×atan(0.628263145541497)-π/2
    2×0.560942406338994-π/2
    1.12188481267799-1.57079632675     		φ = -0.44891151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08820390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44891151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.720735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3981 KachelY 4702 -0.08820390 -0.44891151 -5.053711 -25.720735
    Oben rechts KachelX + 1 3982 KachelY 4702 -0.08743690 -0.44891151 -5.009765 -25.720735
    Unten links KachelX 3981 KachelY + 1 4703 -0.08820390 -0.44960240 -5.053711 -25.760320
    Unten rechts KachelX + 1 3982 KachelY + 1 4703 -0.08743690 -0.44960240 -5.009765 -25.760320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44891151--0.44960240) × R
    0.00069089 × 6371000     		dl = 4401.66019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44891151--0.44960240) × R
    0.00069089 × 6371000     		dr = 4401.66019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08820390--0.08743690) × cos(-0.44891151) × R
    0.000767000000000004 × 0.90092002446388 × 6371000     		do = 4402.39705198417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08820390--0.08743690) × cos(-0.44960240) × R
    0.000767000000000004 × 0.900619973470552 × 6371000     		du = 4400.93083570236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44891151)-sin(-0.44960240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90092002446388-0.900619973470552)×R²
    abs(-0.08743690--0.08820390)×0.000300050993328416×R²
    0.000767000000000004×0.000300050993328416×6371000²
    0.000767000000000004×0.000300050993328416×40589641000000     		ar = 19374629.7220449m²