Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3981 / 1711
↖ ↑ ↗
← N 71.760191°
W  5.053711°		 ← 1 529.47 m → N 71.760191°
W  5.009765°		 →
↑
1 530 m
↓
↑
1 530 m
↓
N 71.746432°
W  5.053711°		 ← 1 530.58 m →
2 340 931 m²		 N 71.746432°
W  5.009765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48602294921875 y=0.20892333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48602294921875 × 213)
    floor (0.48602294921875 × 8192)
    floor (3981.5)     		tx = 3981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20892333984375 × 213)
    floor (0.20892333984375 × 8192)
    floor (1711.5)     		ty = 1711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3981 / 1711 ti = "13/3981/1711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3981/1711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3981 ÷ 213
    3981 ÷ 8192     		x = 0.4859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1711 ÷ 213
    1711 ÷ 8192     		y = 0.2088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4859619140625 × 2 - 1) × π
    -0.028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08820390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2088623046875 × 2 - 1) × π
    0.582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82927208950134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08820390} λ = -0.08820390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82927208950134))-π/2
    2×atan(6.22935059810183)-π/2
    2×1.41162396917626-π/2
    2.82324793835252-1.57079632675     		φ = 1.25245161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08820390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25245161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.760191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3981 KachelY 1711 -0.08820390 1.25245161 -5.053711 71.760191
    Oben rechts KachelX + 1 3982 KachelY 1711 -0.08743690 1.25245161 -5.009765 71.760191
    Unten links KachelX 3981 KachelY + 1 1712 -0.08820390 1.25221146 -5.053711 71.746432
    Unten rechts KachelX + 1 3982 KachelY + 1 1712 -0.08743690 1.25221146 -5.009765 71.746432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25245161-1.25221146) × R
    0.000240149999999995 × 6371000     		dl = 1529.99564999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25245161-1.25221146) × R
    0.000240149999999995 × 6371000     		dr = 1529.99564999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08820390--0.08743690) × cos(1.25245161) × R
    0.000767000000000004 × 0.312994876938216 × 6371000     		do = 1529.46730686659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08820390--0.08743690) × cos(1.25221146) × R
    0.000767000000000004 × 0.313222951529119 × 6371000     		du = 1530.58180635529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25245161)-sin(1.25221146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312994876938216-0.313222951529119)×R²
    abs(-0.08743690--0.08820390)×0.000228074590903182×R²
    0.000767000000000004×0.000228074590903182×6371000²
    0.000767000000000004×0.000228074590903182×40589641000000     		ar = 2340930.92725834m²