Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39808 / 41415
↖ ↑ ↗
← S 42.839724°
E 38.671875°		 ← 447.87 m → S 42.839724°
E 38.677368°		 →
↑
447.82 m
↓
↑
447.82 m
↓
S 42.843751°
E 38.671875°		 ← 447.84 m →
200 555 m²		 S 42.843751°
E 38.677368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607429504394531 y=0.631950378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607429504394531 × 216)
    floor (0.607429504394531 × 65536)
    floor (39808.5)     		tx = 39808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631950378417969 × 216)
    floor (0.631950378417969 × 65536)
    floor (41415.5)     		ty = 41415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39808 / 41415 ti = "16/39808/41415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39808/41415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39808 ÷ 216
    39808 ÷ 65536     		x = 0.607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41415 ÷ 216
    41415 ÷ 65536     		y = 0.631942749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607421875 × 2 - 1) × π
    0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631942749023438 × 2 - 1) × π
    -0.263885498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.829020742029251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67495155} λ = 0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829020742029251))-π/2
    2×atan(0.436476500202965)-π/2
    2×0.411551050130896-π/2
    0.823102100261793-1.57079632675     		φ = -0.74769423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74769423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.839724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39808 KachelY 41415 0.67495155 -0.74769423 38.671875 -42.839724
    Oben rechts KachelX + 1 39809 KachelY 41415 0.67504742 -0.74769423 38.677368 -42.839724
    Unten links KachelX 39808 KachelY + 1 41416 0.67495155 -0.74776452 38.671875 -42.843751
    Unten rechts KachelX + 1 39809 KachelY + 1 41416 0.67504742 -0.74776452 38.677368 -42.843751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74769423--0.74776452) × R
    7.02900000000284e-05 × 6371000     		dl = 447.817590000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74769423--0.74776452) × R
    7.02900000000284e-05 × 6371000     		dr = 447.817590000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67495155-0.67504742) × cos(-0.74769423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.733258624646222 × 6371000     		do = 447.865400180923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67495155-0.67504742) × cos(-0.74776452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.733210829160377 × 6371000     		du = 447.836207282708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74769423)-sin(-0.74776452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733258624646222-0.733210829160377)×R²
    abs(0.67504742-0.67495155)×4.77954858446594e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77954858446594e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77954858446594e-05×40589641000000     		ar = 200555.467689343m²