Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39807 / 41334
↖ ↑ ↗
← S 42.512602°
E 38.666382°		 ← 450.28 m → S 42.512602°
E 38.671875°		 →
↑
450.24 m
↓
↑
450.24 m
↓
S 42.516651°
E 38.666382°		 ← 450.25 m →
202 725 m²		 S 42.516651°
E 38.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607414245605469 y=0.630714416503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607414245605469 × 216)
    floor (0.607414245605469 × 65536)
    floor (39807.5)     		tx = 39807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630714416503906 × 216)
    floor (0.630714416503906 × 65536)
    floor (41334.5)     		ty = 41334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39807 / 41334 ti = "16/39807/41334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39807/41334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39807 ÷ 216
    39807 ÷ 65536     		x = 0.607406616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41334 ÷ 216
    41334 ÷ 65536     		y = 0.630706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607406616210938 × 2 - 1) × π
    0.214813232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67485567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630706787109375 × 2 - 1) × π
    -0.26141357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.821254964290802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67485567} λ = 0.67485567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821254964290802))-π/2
    2×atan(0.439879275187712)-π/2
    2×0.414405726641802-π/2
    0.828811453283604-1.57079632675     		φ = -0.74198487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67485567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.666382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74198487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.512602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39807 KachelY 41334 0.67485567 -0.74198487 38.666382 -42.512602
    Oben rechts KachelX + 1 39808 KachelY 41334 0.67495155 -0.74198487 38.671875 -42.512602
    Unten links KachelX 39807 KachelY + 1 41335 0.67485567 -0.74205554 38.666382 -42.516651
    Unten rechts KachelX + 1 39808 KachelY + 1 41335 0.67495155 -0.74205554 38.671875 -42.516651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74198487--0.74205554) × R
    7.06699999999394e-05 × 6371000     		dl = 450.238569999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74198487--0.74205554) × R
    7.06699999999394e-05 × 6371000     		dr = 450.238569999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67485567-0.67495155) × cos(-0.74198487) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.73712873108613 × 6371000     		do = 450.276176334189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67485567-0.67495155) × cos(-0.74205554) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.73708097382714 × 6371000     		du = 450.247003741854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74198487)-sin(-0.74205554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73712873108613-0.73708097382714)×R²
    abs(0.67495155-0.67485567)×4.77572589898667e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.77572589898667e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.77572589898667e-05×40589641000000     		ar = 202725.134508897m²