Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39806 / 41332
↖ ↑ ↗
← S 42.504503°
E 38.660889°		 ← 450.29 m → S 42.504503°
E 38.666382°		 →
↑
450.30 m
↓
↑
450.30 m
↓
S 42.508552°
E 38.660889°		 ← 450.26 m →
202 759 m²		 S 42.508552°
E 38.666382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607398986816406 y=0.630683898925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607398986816406 × 216)
    floor (0.607398986816406 × 65536)
    floor (39806.5)     		tx = 39806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630683898925781 × 216)
    floor (0.630683898925781 × 65536)
    floor (41332.5)     		ty = 41332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39806 / 41332 ti = "16/39806/41332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39806/41332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39806 ÷ 216
    39806 ÷ 65536     		x = 0.607391357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41332 ÷ 216
    41332 ÷ 65536     		y = 0.63067626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607391357421875 × 2 - 1) × π
    0.21478271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67475980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.2613525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.821063216692322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67475980} λ = 0.67475980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821063216692322))-π/2
    2×atan(0.439963629069419)-π/2
    2×0.414476402552095-π/2
    0.82895280510419-1.57079632675     		φ = -0.74184352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67475980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.660889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74184352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.504503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39806 KachelY 41332 0.67475980 -0.74184352 38.660889 -42.504503
    Oben rechts KachelX + 1 39807 KachelY 41332 0.67485567 -0.74184352 38.666382 -42.504503
    Unten links KachelX 39806 KachelY + 1 41333 0.67475980 -0.74191420 38.660889 -42.508552
    Unten rechts KachelX + 1 39807 KachelY + 1 41333 0.67485567 -0.74191420 38.666382 -42.508552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74184352--0.74191420) × R
    7.06799999999896e-05 × 6371000     		dl = 450.302279999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74184352--0.74191420) × R
    7.06799999999896e-05 × 6371000     		dr = 450.302279999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67475980-0.67485567) × cos(-0.74184352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73722424131614 × 6371000     		do = 450.287550343417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67475980-0.67485567) × cos(-0.74191420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737176484663715 × 6371000     		du = 450.25838116418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74184352)-sin(-0.74191420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73722424131614-0.737176484663715)×R²
    abs(0.67485567-0.67475980)×4.77566524241801e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77566524241801e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77566524241801e-05×40589641000000     		ar = 202758.943185492m²