Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39804 / 41396
↖ ↑ ↗
← S 42.763146°
E 38.649902°		 ← 448.47 m → S 42.763146°
E 38.655396°		 →
↑
448.45 m
↓
↑
448.45 m
↓
S 42.767179°
E 38.649902°		 ← 448.44 m →
201 111 m²		 S 42.767179°
E 38.655396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607368469238281 y=0.631660461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607368469238281 × 216)
    floor (0.607368469238281 × 65536)
    floor (39804.5)     		tx = 39804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631660461425781 × 216)
    floor (0.631660461425781 × 65536)
    floor (41396.5)     		ty = 41396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39804 / 41396 ti = "16/39804/41396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39804/41396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39804 ÷ 216
    39804 ÷ 65536     		x = 0.60736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41396 ÷ 216
    41396 ÷ 65536     		y = 0.63165283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60736083984375 × 2 - 1) × π
    0.2147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67456805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.2633056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.827199139843689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67456805} λ = 0.67456805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827199139843689))-π/2
    2×atan(0.437272311355291)-π/2
    2×0.412219316462167-π/2
    0.824438632924333-1.57079632675     		φ = -0.74635769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67456805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.649902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74635769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.763146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39804 KachelY 41396 0.67456805 -0.74635769 38.649902 -42.763146
    Oben rechts KachelX + 1 39805 KachelY 41396 0.67466393 -0.74635769 38.655396 -42.763146
    Unten links KachelX 39804 KachelY + 1 41397 0.67456805 -0.74642808 38.649902 -42.767179
    Unten rechts KachelX + 1 39805 KachelY + 1 41397 0.67466393 -0.74642808 38.655396 -42.767179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74635769--0.74642808) × R
    7.03900000000868e-05 × 6371000     		dl = 448.454690000553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74635769--0.74642808) × R
    7.03900000000868e-05 × 6371000     		dr = 448.454690000553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67456805-0.67466393) × cos(-0.74635769) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.734166749614995 × 6371000     		do = 448.466845569334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67456805-0.67466393) × cos(-0.74642808) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.734118955153762 × 6371000     		du = 448.437650251954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74635769)-sin(-0.74642808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734166749614995-0.734118955153762)×R²
    abs(0.67466393-0.67456805)×4.77944612331527e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77944612331527e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77944612331527e-05×40589641000000     		ar = 201110.513900168m²