Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39803 / 32645
↖ ↑ ↗
← N 66.647534°
W 70.677796°		 ← 121.07 m → N 66.647534°
W 70.675049°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
N 66.646446°
W 70.677796°		 ← 121.07 m →
14 655 m²		 N 66.646446°
W 70.675049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303676605224609 y=0.249065399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303676605224609 × 217)
    floor (0.303676605224609 × 131072)
    floor (39803.5)     		tx = 39803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249065399169922 × 217)
    floor (0.249065399169922 × 131072)
    floor (32645.5)     		ty = 32645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39803 / 32645 ti = "17/39803/32645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39803/32645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39803 ÷ 217
    39803 ÷ 131072     		x = 0.303672790527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32645 ÷ 217
    32645 ÷ 131072     		y = 0.249061584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303672790527344 × 2 - 1) × π
    -0.392654418945312 × 3.1415926535     		Λ = -1.23356024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249061584472656 × 2 - 1) × π
    0.501876831054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.57669256540327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23356024} λ = -1.23356024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57669256540327))-π/2
    2×atan(4.83892488765107)-π/2
    2×1.3670076207311-π/2
    2.7340152414622-1.57079632675     		φ = 1.16321891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23356024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.677796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16321891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.647534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39803 KachelY 32645 -1.23356024 1.16321891 -70.677796 66.647534
    Oben rechts KachelX + 1 39804 KachelY 32645 -1.23351230 1.16321891 -70.675049 66.647534
    Unten links KachelX 39803 KachelY + 1 32646 -1.23356024 1.16319991 -70.677796 66.646446
    Unten rechts KachelX + 1 39804 KachelY + 1 32646 -1.23351230 1.16319991 -70.675049 66.646446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16321891-1.16319991) × R
    1.90000000002133e-05 × 6371000     		dl = 121.049000001359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16321891-1.16319991) × R
    1.90000000002133e-05 × 6371000     		dr = 121.049000001359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23356024--1.23351230) × cos(1.16321891) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.396386358954834 × 6371000     		do = 121.066597010167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23356024--1.23351230) × cos(1.16319991) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.396403802475388 × 6371000     		du = 121.071924710341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16321891)-sin(1.16319991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396386358954834-0.396403802475388)×R²
    abs(-1.23351230--1.23356024)×1.74435205542722e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.74435205542722e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.74435205542722e-05×40589641000000     		ar = 14655.312958434m²