Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39802 / 41395
↖ ↑ ↗
← S 42.759113°
E 38.638916°		 ← 448.50 m → S 42.759113°
E 38.644409°		 →
↑
448.45 m
↓
↑
448.45 m
↓
S 42.763146°
E 38.638916°		 ← 448.47 m →
201 124 m²		 S 42.763146°
E 38.644409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607337951660156 y=0.631645202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607337951660156 × 216)
    floor (0.607337951660156 × 65536)
    floor (39802.5)     		tx = 39802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631645202636719 × 216)
    floor (0.631645202636719 × 65536)
    floor (41395.5)     		ty = 41395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39802 / 41395 ti = "16/39802/41395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39802/41395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39802 ÷ 216
    39802 ÷ 65536     		x = 0.607330322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41395 ÷ 216
    41395 ÷ 65536     		y = 0.631637573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607330322265625 × 2 - 1) × π
    0.21466064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67437630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631637573242188 × 2 - 1) × π
    -0.263275146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.827103266044449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67437630} λ = 0.67437630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827103266044449))-π/2
    2×atan(0.437314236322804)-π/2
    2×0.41225451128529-π/2
    0.824509022570579-1.57079632675     		φ = -0.74628730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67437630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.638916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74628730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.759113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39802 KachelY 41395 0.67437630 -0.74628730 38.638916 -42.759113
    Oben rechts KachelX + 1 39803 KachelY 41395 0.67447218 -0.74628730 38.644409 -42.759113
    Unten links KachelX 39802 KachelY + 1 41396 0.67437630 -0.74635769 38.638916 -42.763146
    Unten rechts KachelX + 1 39803 KachelY + 1 41396 0.67447218 -0.74635769 38.644409 -42.763146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74628730--0.74635769) × R
    7.03899999999757e-05 × 6371000     		dl = 448.454689999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74628730--0.74635769) × R
    7.03899999999757e-05 × 6371000     		dr = 448.454689999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67437630-0.67447218) × cos(-0.74628730) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.734214540438614 × 6371000     		do = 448.496038664153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67437630-0.67447218) × cos(-0.74635769) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.734166749614995 × 6371000     		du = 448.466845568815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74628730)-sin(-0.74635769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734214540438614-0.734166749614995)×R²
    abs(0.67447218-0.67437630)×4.77908236189428e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.77908236189428e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.77908236189428e-05×40589641000000     		ar = 201123.606177795m²