Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 398 / 406
↖ ↑ ↗
← N 34.885931°
W 40.078125°		 ← 32.067 km → N 34.885931°
W 39.726563°		 →
↑
32.123 km
↓
↑
32.123 km
↓
N 34.597042°
W 40.078125°		 ← 32.179 km →
1 031.89 km²		 N 34.597042°
W 39.726563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38916015625 y=0.39697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38916015625 × 210)
    floor (0.38916015625 × 1024)
    floor (398.5)     		tx = 398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39697265625 × 210)
    floor (0.39697265625 × 1024)
    floor (406.5)     		ty = 406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 398 / 406 ti = "10/398/406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/398/406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 398 ÷ 210
    398 ÷ 1024     		x = 0.388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 406 ÷ 210
    406 ÷ 1024     		y = 0.396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388671875 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396484375 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.650407854044922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69949524} λ = -0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.650407854044922))-π/2
    2×atan(1.91632224943113)-π/2
    2×1.08983534215958-π/2
    2.17967068431915-1.57079632675     		φ = 0.60887436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60887436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.885931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 398 KachelY 406 -0.69949524 0.60887436 -40.078125 34.885931
    Oben rechts KachelX + 1 399 KachelY 406 -0.69335932 0.60887436 -39.726563 34.885931
    Unten links KachelX 398 KachelY + 1 407 -0.69949524 0.60383229 -40.078125 34.597042
    Unten rechts KachelX + 1 399 KachelY + 1 407 -0.69335932 0.60383229 -39.726563 34.597042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60887436-0.60383229) × R
    0.0050420699999999 × 6371000     		dl = 32123.0279699994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60887436-0.60383229) × R
    0.0050420699999999 × 6371000     		dr = 32123.0279699994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69949524--0.69335932) × cos(0.60887436) × R
    0.00613591999999996 × 0.82029234096332 × 6371000     		do = 32066.824159645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69949524--0.69335932) × cos(0.60383229) × R
    0.00613591999999996 × 0.823165685885591 × 6371000     		du = 32179.1488051053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60887436)-sin(0.60383229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82029234096332-0.823165685885591)×R²
    abs(-0.69335932--0.69949524)×0.00287334492227154×R²
    0.00613591999999996×0.00287334492227154×6371000²
    0.00613591999999996×0.00287334492227154×40589641000000     		ar = 1031889779.3531m²