Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 398 / 405
↖ ↑ ↗
← N 35.173809°
W 40.078125°		 ← 31.954 km → N 35.173809°
W 39.726563°		 →
↑
32.011 km
↓
↑
32.011 km
↓
N 34.885931°
W 40.078125°		 ← 32.067 km →
1 024.67 km²		 N 34.885931°
W 39.726563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38916015625 y=0.39599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38916015625 × 210)
    floor (0.38916015625 × 1024)
    floor (398.5)     		tx = 398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39599609375 × 210)
    floor (0.39599609375 × 1024)
    floor (405.5)     		ty = 405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 398 / 405 ti = "10/398/405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/398/405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 398 ÷ 210
    398 ÷ 1024     		x = 0.388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 405 ÷ 210
    405 ÷ 1024     		y = 0.3955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388671875 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3955078125 × 2 - 1) × π
    0.208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.656543777196289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69949524} λ = -0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.656543777196289))-π/2
    2×atan(1.92811680372131)-π/2
    2×1.09234754619701-π/2
    2.18469509239402-1.57079632675     		φ = 0.61389877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.61389877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 35.173809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 398 KachelY 405 -0.69949524 0.61389877 -40.078125 35.173809
    Oben rechts KachelX + 1 399 KachelY 405 -0.69335932 0.61389877 -39.726563 35.173809
    Unten links KachelX 398 KachelY + 1 406 -0.69949524 0.60887436 -40.078125 34.885931
    Unten rechts KachelX + 1 399 KachelY + 1 406 -0.69335932 0.60887436 -39.726563 34.885931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.61389877-0.60887436) × R
    0.00502441000000009 × 6371000     		dl = 32010.5161100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.61389877-0.60887436) × R
    0.00502441000000009 × 6371000     		dr = 32010.5161100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69949524--0.69335932) × cos(0.61389877) × R
    0.00613591999999996 × 0.817408315552303 × 6371000     		do = 31954.0819930921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69949524--0.69335932) × cos(0.60887436) × R
    0.00613591999999996 × 0.82029234096332 × 6371000     		du = 32066.824159645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.61389877)-sin(0.60887436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817408315552303-0.82029234096332)×R²
    abs(-0.69335932--0.69949524)×0.00288402541101684×R²
    0.00613591999999996×0.00288402541101684×6371000²
    0.00613591999999996×0.00288402541101684×40589641000000     		ar = 1024673279.52086m²