Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39796 / 41423
↖ ↑ ↗
← S 42.871938°
E 38.605957°		 ← 447.63 m → S 42.871938°
E 38.611450°		 →
↑
447.63 m
↓
↑
447.63 m
↓
S 42.875964°
E 38.605957°		 ← 447.60 m →
200 365 m²		 S 42.875964°
E 38.611450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607246398925781 y=0.632072448730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607246398925781 × 216)
    floor (0.607246398925781 × 65536)
    floor (39796.5)     		tx = 39796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632072448730469 × 216)
    floor (0.632072448730469 × 65536)
    floor (41423.5)     		ty = 41423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39796 / 41423 ti = "16/39796/41423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39796/41423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39796 ÷ 216
    39796 ÷ 65536     		x = 0.60723876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41423 ÷ 216
    41423 ÷ 65536     		y = 0.632064819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60723876953125 × 2 - 1) × π
    0.2144775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67380106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632064819335938 × 2 - 1) × π
    -0.264129638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.829787732423172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67380106} λ = 0.67380106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829787732423172))-π/2
    2×atan(0.436141855271266)-π/2
    2×0.411269922296691-π/2
    0.822539844593382-1.57079632675     		φ = -0.74825648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67380106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.605957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74825648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.871938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39796 KachelY 41423 0.67380106 -0.74825648 38.605957 -42.871938
    Oben rechts KachelX + 1 39797 KachelY 41423 0.67389693 -0.74825648 38.611450 -42.871938
    Unten links KachelX 39796 KachelY + 1 41424 0.67380106 -0.74832674 38.605957 -42.875964
    Unten rechts KachelX + 1 39797 KachelY + 1 41424 0.67389693 -0.74832674 38.611450 -42.875964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74825648--0.74832674) × R
    7.02599999999887e-05 × 6371000     		dl = 447.626459999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74825648--0.74832674) × R
    7.02599999999887e-05 × 6371000     		dr = 447.626459999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67380106-0.67389693) × cos(-0.74825648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732876206966267 × 6371000     		do = 447.631824138975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67380106-0.67389693) × cos(-0.74832674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732828402922542 × 6371000     		du = 447.602626013711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74825648)-sin(-0.74832674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732876206966267-0.732828402922542)×R²
    abs(0.67389693-0.67380106)×4.78040437246197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78040437246197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78040437246197e-05×40589641000000     		ar = 200365.313978371m²