Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39794 / 41430
↖ ↑ ↗
← S 42.900113°
E 38.594971°		 ← 447.47 m → S 42.900113°
E 38.600464°		 →
↑
447.37 m
↓
↑
447.37 m
↓
S 42.904136°
E 38.594971°		 ← 447.44 m →
200 181 m²		 S 42.904136°
E 38.600464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607215881347656 y=0.632179260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607215881347656 × 216)
    floor (0.607215881347656 × 65536)
    floor (39794.5)     		tx = 39794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632179260253906 × 216)
    floor (0.632179260253906 × 65536)
    floor (41430.5)     		ty = 41430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39794 / 41430 ti = "16/39794/41430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39794/41430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39794 ÷ 216
    39794 ÷ 65536     		x = 0.607208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41430 ÷ 216
    41430 ÷ 65536     		y = 0.632171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607208251953125 × 2 - 1) × π
    0.21441650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67360931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632171630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.830458849017853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67360931} λ = 0.67360931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830458849017853))-π/2
    2×atan(0.435849251431188)-π/2
    2×0.411024055750814-π/2
    0.822048111501628-1.57079632675     		φ = -0.74874822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67360931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.594971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74874822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.900113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39794 KachelY 41430 0.67360931 -0.74874822 38.594971 -42.900113
    Oben rechts KachelX + 1 39795 KachelY 41430 0.67370519 -0.74874822 38.600464 -42.900113
    Unten links KachelX 39794 KachelY + 1 41431 0.67360931 -0.74881844 38.594971 -42.904136
    Unten rechts KachelX + 1 39795 KachelY + 1 41431 0.67370519 -0.74881844 38.600464 -42.904136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74874822--0.74881844) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dl = 447.371620000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74874822--0.74881844) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dr = 447.371620000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67360931-0.67370519) × cos(-0.74874822) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.732541557156985 × 6371000     		do = 447.474094350556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67360931-0.67370519) × cos(-0.74881844) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.732493755030199 × 6371000     		du = 447.444894350661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74874822)-sin(-0.74881844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732541557156985-0.732493755030199)×R²
    abs(0.67370519-0.67360931)×4.78021267857898e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78021267857898e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78021267857898e-05×40589641000000     		ar = 200180.678954327m²