Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39792 / 41392
↖ ↑ ↗
← S 42.747012°
E 38.583985°		 ← 448.54 m → S 42.747012°
E 38.589478°		 →
↑
448.52 m
↓
↑
448.52 m
↓
S 42.751046°
E 38.583985°		 ← 448.51 m →
201 170 m²		 S 42.751046°
E 38.589478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607185363769531 y=0.631599426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607185363769531 × 216)
    floor (0.607185363769531 × 65536)
    floor (39792.5)     		tx = 39792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631599426269531 × 216)
    floor (0.631599426269531 × 65536)
    floor (41392.5)     		ty = 41392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39792 / 41392 ti = "16/39792/41392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39792/41392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39792 ÷ 216
    39792 ÷ 65536     		x = 0.607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41392 ÷ 216
    41392 ÷ 65536     		y = 0.631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607177734375 × 2 - 1) × π
    0.21435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67341757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.26318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826815644646729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67341757} λ = 0.67341757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826815644646729))-π/2
    2×atan(0.437440035345076)-π/2
    2×0.412360109500076-π/2
    0.824720219000152-1.57079632675     		φ = -0.74607611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67341757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.583985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74607611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.747012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39792 KachelY 41392 0.67341757 -0.74607611 38.583985 -42.747012
    Oben rechts KachelX + 1 39793 KachelY 41392 0.67351344 -0.74607611 38.589478 -42.747012
    Unten links KachelX 39792 KachelY + 1 41393 0.67341757 -0.74614651 38.583985 -42.751046
    Unten rechts KachelX + 1 39793 KachelY + 1 41393 0.67351344 -0.74614651 38.589478 -42.751046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74607611--0.74614651) × R
    7.0400000000026e-05 × 6371000     		dl = 448.518400000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74607611--0.74614651) × R
    7.0400000000026e-05 × 6371000     		dr = 448.518400000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67341757-0.67351344) × cos(-0.74607611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734357904656667 × 6371000     		do = 448.536826967108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67341757-0.67351344) × cos(-0.74614651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734310117960204 × 6371000     		du = 448.50763943734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74607611)-sin(-0.74614651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734357904656667-0.734310117960204)×R²
    abs(0.67351344-0.67341757)×4.77866964631035e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77866964631035e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77866964631035e-05×40589641000000     		ar = 201170.474483265m²