Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39788 / 41327
↖ ↑ ↗
← S 42.484251°
E 38.562012°		 ← 450.43 m → S 42.484251°
E 38.567505°		 →
↑
450.43 m
↓
↑
450.43 m
↓
S 42.488302°
E 38.562012°		 ← 450.40 m →
202 882 m²		 S 42.488302°
E 38.567505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607124328613281 y=0.630607604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607124328613281 × 216)
    floor (0.607124328613281 × 65536)
    floor (39788.5)     		tx = 39788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630607604980469 × 216)
    floor (0.630607604980469 × 65536)
    floor (41327.5)     		ty = 41327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39788 / 41327 ti = "16/39788/41327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39788/41327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39788 ÷ 216
    39788 ÷ 65536     		x = 0.60711669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41327 ÷ 216
    41327 ÷ 65536     		y = 0.630599975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60711669921875 × 2 - 1) × π
    0.2142333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67303407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630599975585938 × 2 - 1) × π
    -0.261199951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.820583847696121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67303407} λ = 0.67303407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820583847696121))-π/2
    2×atan(0.44017458455137)-π/2
    2×0.414653132388916-π/2
    0.829306264777832-1.57079632675     		φ = -0.74149006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67303407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.562012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74149006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.484251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39788 KachelY 41327 0.67303407 -0.74149006 38.562012 -42.484251
    Oben rechts KachelX + 1 39789 KachelY 41327 0.67312994 -0.74149006 38.567505 -42.484251
    Unten links KachelX 39788 KachelY + 1 41328 0.67303407 -0.74156076 38.562012 -42.488302
    Unten rechts KachelX + 1 39789 KachelY + 1 41328 0.67312994 -0.74156076 38.567505 -42.488302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74149006--0.74156076) × R
    7.07000000000901e-05 × 6371000     		dl = 450.429700000574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74149006--0.74156076) × R
    7.07000000000901e-05 × 6371000     		dr = 450.429700000574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67303407-0.67312994) × cos(-0.74149006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737463009852891 × 6371000     		do = 450.433387245526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67303407-0.67312994) × cos(-0.74156076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737415258111804 × 6371000     		du = 450.404221066073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74149006)-sin(-0.74156076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737463009852891-0.737415258111804)×R²
    abs(0.67312994-0.67303407)×4.77517410876205e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77517410876205e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77517410876205e-05×40589641000000     		ar = 202882.006915277m²