Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39785 / 41398
↖ ↑ ↗
← S 42.771211°
E 38.545532°		 ← 448.36 m → S 42.771211°
E 38.551025°		 →
↑
448.39 m
↓
↑
448.39 m
↓
S 42.775244°
E 38.545532°		 ← 448.33 m →
201 035 m²		 S 42.775244°
E 38.551025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607078552246094 y=0.631690979003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607078552246094 × 216)
    floor (0.607078552246094 × 65536)
    floor (39785.5)     		tx = 39785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631690979003906 × 216)
    floor (0.631690979003906 × 65536)
    floor (41398.5)     		ty = 41398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39785 / 41398 ti = "16/39785/41398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39785/41398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39785 ÷ 216
    39785 ÷ 65536     		x = 0.607070922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41398 ÷ 216
    41398 ÷ 65536     		y = 0.631683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607070922851562 × 2 - 1) × π
    0.214141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67274645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631683349609375 × 2 - 1) × π
    -0.26336669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.827390887442169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67274645} λ = 0.67274645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827390887442169))-π/2
    2×atan(0.43718847347782)-π/2
    2×0.412148933688781-π/2
    0.824297867377562-1.57079632675     		φ = -0.74649846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67274645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.545532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74649846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.771211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39785 KachelY 41398 0.67274645 -0.74649846 38.545532 -42.771211
    Oben rechts KachelX + 1 39786 KachelY 41398 0.67284232 -0.74649846 38.551025 -42.771211
    Unten links KachelX 39785 KachelY + 1 41399 0.67274645 -0.74656884 38.545532 -42.775244
    Unten rechts KachelX + 1 39786 KachelY + 1 41399 0.67284232 -0.74656884 38.551025 -42.775244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74649846--0.74656884) × R
    7.03800000000365e-05 × 6371000     		dl = 448.390980000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74649846--0.74656884) × R
    7.03800000000365e-05 × 6371000     		dr = 448.390980000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67274645-0.67284232) × cos(-0.74649846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734071163845877 × 6371000     		do = 448.361689186718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67274645-0.67284232) × cos(-0.74656884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734023368901885 × 6371000     		du = 448.33249661946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74649846)-sin(-0.74656884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734071163845877-0.734023368901885)×R²
    abs(0.67284232-0.67274645)×4.77949439923187e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77949439923187e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77949439923187e-05×40589641000000     		ar = 201034.792449759m²