Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39785 / 41369
↖ ↑ ↗
← S 42.654162°
E 38.545532°		 ← 449.21 m → S 42.654162°
E 38.551025°		 →
↑
449.16 m
↓
↑
449.16 m
↓
S 42.658202°
E 38.545532°		 ← 449.18 m →
201 758 m²		 S 42.658202°
E 38.551025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607078552246094 y=0.631248474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607078552246094 × 216)
    floor (0.607078552246094 × 65536)
    floor (39785.5)     		tx = 39785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631248474121094 × 216)
    floor (0.631248474121094 × 65536)
    floor (41369.5)     		ty = 41369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39785 / 41369 ti = "16/39785/41369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39785/41369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39785 ÷ 216
    39785 ÷ 65536     		x = 0.607070922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41369 ÷ 216
    41369 ÷ 65536     		y = 0.631240844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607070922851562 × 2 - 1) × π
    0.214141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67274645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631240844726562 × 2 - 1) × π
    -0.262481689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.824610547264206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67274645} λ = 0.67274645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824610547264206))-π/2
    2×atan(0.438405697520303)-π/2
    2×0.41317038072449-π/2
    0.826340761448979-1.57079632675     		φ = -0.74445557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67274645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.545532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74445557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.654162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39785 KachelY 41369 0.67274645 -0.74445557 38.545532 -42.654162
    Oben rechts KachelX + 1 39786 KachelY 41369 0.67284232 -0.74445557 38.551025 -42.654162
    Unten links KachelX 39785 KachelY + 1 41370 0.67274645 -0.74452607 38.545532 -42.658202
    Unten rechts KachelX + 1 39786 KachelY + 1 41370 0.67284232 -0.74452607 38.551025 -42.658202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74445557--0.74452607) × R
    7.05000000000844e-05 × 6371000     		dl = 449.155500000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74445557--0.74452607) × R
    7.05000000000844e-05 × 6371000     		dr = 449.155500000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67274645-0.67284232) × cos(-0.74445557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73545690161437 × 6371000     		do = 449.20808086814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67274645-0.67284232) × cos(-0.74452607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.735409130995527 × 6371000     		du = 449.178903158386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74445557)-sin(-0.74452607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73545690161437-0.735409130995527)×R²
    abs(0.67284232-0.67274645)×4.77706188423133e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77706188423133e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77706188423133e-05×40589641000000     		ar = 201757.727585622m²