Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39783 / 41401
↖ ↑ ↗
← S 42.783307°
E 38.534546°		 ← 448.32 m → S 42.783307°
E 38.540039°		 →
↑
448.33 m
↓
↑
448.33 m
↓
S 42.787339°
E 38.534546°		 ← 448.29 m →
200 988 m²		 S 42.787339°
E 38.540039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607048034667969 y=0.631736755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607048034667969 × 216)
    floor (0.607048034667969 × 65536)
    floor (39783.5)     		tx = 39783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631736755371094 × 216)
    floor (0.631736755371094 × 65536)
    floor (41401.5)     		ty = 41401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39783 / 41401 ti = "16/39783/41401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39783/41401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39783 ÷ 216
    39783 ÷ 65536     		x = 0.607040405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41401 ÷ 216
    41401 ÷ 65536     		y = 0.631729125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607040405273438 × 2 - 1) × π
    0.214080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67255470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631729125976562 × 2 - 1) × π
    -0.263458251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.82767850883989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67255470} λ = 0.67255470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82767850883989))-π/2
    2×atan(0.437062746799719)-π/2
    2×0.41204337671123-π/2
    0.824086753422461-1.57079632675     		φ = -0.74670957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67255470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.534546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74670957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.783307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39783 KachelY 41401 0.67255470 -0.74670957 38.534546 -42.783307
    Oben rechts KachelX + 1 39784 KachelY 41401 0.67265058 -0.74670957 38.540039 -42.783307
    Unten links KachelX 39783 KachelY + 1 41402 0.67255470 -0.74677994 38.534546 -42.787339
    Unten rechts KachelX + 1 39784 KachelY + 1 41402 0.67265058 -0.74677994 38.540039 -42.787339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74670957--0.74677994) × R
    7.03699999999863e-05 × 6371000     		dl = 448.327269999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74670957--0.74677994) × R
    7.03699999999863e-05 × 6371000     		dr = 448.327269999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67255470-0.67265058) × cos(-0.74670957) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.733927788483351 × 6371000     		do = 448.320875808407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67255470-0.67265058) × cos(-0.74677994) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.733879989426798 × 6371000     		du = 448.291677683969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74670957)-sin(-0.74677994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733927788483351-0.733879989426798)×R²
    abs(0.67265058-0.67255470)×4.77990565524999e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77990565524999e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77990565524999e-05×40589641000000     		ar = 200987.929260377m²