Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39783 / 32600
↖ ↑ ↗
← N 66.696478°
W 70.732727°		 ← 120.83 m → N 66.696478°
W 70.729981°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
N 66.695391°
W 70.732727°		 ← 120.83 m →
14 603 m²		 N 66.695391°
W 70.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303524017333984 y=0.248722076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303524017333984 × 217)
    floor (0.303524017333984 × 131072)
    floor (39783.5)     		tx = 39783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248722076416016 × 217)
    floor (0.248722076416016 × 131072)
    floor (32600.5)     		ty = 32600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39783 / 32600 ti = "17/39783/32600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39783/32600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39783 ÷ 217
    39783 ÷ 131072     		x = 0.303520202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32600 ÷ 217
    32600 ÷ 131072     		y = 0.24871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303520202636719 × 2 - 1) × π
    -0.392959594726562 × 3.1415926535     		Λ = -1.23451898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24871826171875 × 2 - 1) × π
    0.5025634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57884972588617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23451898} λ = -1.23451898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57884972588617))-π/2
    2×atan(4.84937449188296)-π/2
    2×1.36743473209238-π/2
    2.73486946418477-1.57079632675     		φ = 1.16407314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23451898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.732727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16407314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.696478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39783 KachelY 32600 -1.23451898 1.16407314 -70.732727 66.696478
    Oben rechts KachelX + 1 39784 KachelY 32600 -1.23447104 1.16407314 -70.729981 66.696478
    Unten links KachelX 39783 KachelY + 1 32601 -1.23451898 1.16405417 -70.732727 66.695391
    Unten rechts KachelX + 1 39784 KachelY + 1 32601 -1.23447104 1.16405417 -70.729981 66.695391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16407314-1.16405417) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dl = 120.857869999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16407314-1.16405417) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dr = 120.857869999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23451898--1.23447104) × cos(1.16407314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39560195970679 × 6371000     		do = 120.827021288817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23451898--1.23447104) × cos(1.16405417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395619382102181 × 6371000     		du = 120.832342536822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16407314)-sin(1.16405417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39560195970679-0.395619382102181)×R²
    abs(-1.23447104--1.23451898)×1.74223953910979e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74223953910979e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74223953910979e-05×40589641000000     		ar = 14603.2179891008m²