Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39780 / 41379
↖ ↑ ↗
← S 42.694549°
E 38.518066°		 ← 448.92 m → S 42.694549°
E 38.523559°		 →
↑
448.90 m
↓
↑
448.90 m
↓
S 42.698586°
E 38.518066°		 ← 448.89 m →
201 512 m²		 S 42.698586°
E 38.523559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607002258300781 y=0.631401062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607002258300781 × 216)
    floor (0.607002258300781 × 65536)
    floor (39780.5)     		tx = 39780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631401062011719 × 216)
    floor (0.631401062011719 × 65536)
    floor (41379.5)     		ty = 41379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39780 / 41379 ti = "16/39780/41379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39780/41379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39780 ÷ 216
    39780 ÷ 65536     		x = 0.60699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41379 ÷ 216
    41379 ÷ 65536     		y = 0.631393432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60699462890625 × 2 - 1) × π
    0.2139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67226708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631393432617188 × 2 - 1) × π
    -0.262786865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.825569285256607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67226708} λ = 0.67226708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825569285256607))-π/2
    2×atan(0.437985582744184)-π/2
    2×0.412817940003029-π/2
    0.825635880006057-1.57079632675     		φ = -0.74516045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67226708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.518066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74516045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.694549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39780 KachelY 41379 0.67226708 -0.74516045 38.518066 -42.694549
    Oben rechts KachelX + 1 39781 KachelY 41379 0.67236295 -0.74516045 38.523559 -42.694549
    Unten links KachelX 39780 KachelY + 1 41380 0.67226708 -0.74523091 38.518066 -42.698586
    Unten rechts KachelX + 1 39781 KachelY + 1 41380 0.67236295 -0.74523091 38.523559 -42.698586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74516045--0.74523091) × R
    7.04599999999944e-05 × 6371000     		dl = 448.900659999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74516045--0.74523091) × R
    7.04599999999944e-05 × 6371000     		dr = 448.900659999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67226708-0.67236295) × cos(-0.74516045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734979112342695 × 6371000     		do = 448.916253024364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67226708-0.67236295) × cos(-0.74523091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734931332314747 × 6371000     		du = 448.887069567643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74516045)-sin(-0.74523091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734979112342695-0.734931332314747)×R²
    abs(0.67236295-0.67226708)×4.7780027947586e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7780027947586e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7780027947586e-05×40589641000000     		ar = 201512.252114215m²