Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39780 / 32607
↖ ↑ ↗
← N 66.688871°
W 70.740967°		 ← 120.86 m → N 66.688871°
W 70.738220°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
N 66.687784°
W 70.740967°		 ← 120.87 m →
14 608 m²		 N 66.687784°
W 70.738220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303501129150391 y=0.248775482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303501129150391 × 217)
    floor (0.303501129150391 × 131072)
    floor (39780.5)     		tx = 39780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248775482177734 × 217)
    floor (0.248775482177734 × 131072)
    floor (32607.5)     		ty = 32607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39780 / 32607 ti = "17/39780/32607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39780/32607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39780 ÷ 217
    39780 ÷ 131072     		x = 0.303497314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32607 ÷ 217
    32607 ÷ 131072     		y = 0.248771667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.39300537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.23466279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248771667480469 × 2 - 1) × π
    0.502456665039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.57851416758883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23466279} λ = -1.23466279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57851416758883))-π/2
    2×atan(4.84774751702303)-π/2
    2×1.36736834810344-π/2
    2.73473669620689-1.57079632675     		φ = 1.16394037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23466279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16394037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.688871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39780 KachelY 32607 -1.23466279 1.16394037 -70.740967 66.688871
    Oben rechts KachelX + 1 39781 KachelY 32607 -1.23461485 1.16394037 -70.738220 66.688871
    Unten links KachelX 39780 KachelY + 1 32608 -1.23466279 1.16392140 -70.740967 66.687784
    Unten rechts KachelX + 1 39781 KachelY + 1 32608 -1.23461485 1.16392140 -70.738220 66.687784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16394037-1.16392140) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dl = 120.857869999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16394037-1.16392140) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dr = 120.857869999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23466279--1.23461485) × cos(1.16394037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395723895117191 × 6371000     		do = 120.864263501771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23466279--1.23461485) × cos(1.16392140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395741316516025 × 6371000     		du = 120.869584445402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16394037)-sin(1.16392140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395723895117191-0.395741316516025)×R²
    abs(-1.23461485--1.23466279)×1.74213988339833e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74213988339833e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74213988339833e-05×40589641000000     		ar = 14607.7189854165m²