Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39778 / 41377
↖ ↑ ↗
← S 42.686474°
E 38.507080°		 ← 449.02 m → S 42.686474°
E 38.512573°		 →
↑
448.96 m
↓
↑
448.96 m
↓
S 42.690511°
E 38.507080°		 ← 448.99 m →
201 588 m²		 S 42.690511°
E 38.512573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606971740722656 y=0.631370544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606971740722656 × 216)
    floor (0.606971740722656 × 65536)
    floor (39778.5)     		tx = 39778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631370544433594 × 216)
    floor (0.631370544433594 × 65536)
    floor (41377.5)     		ty = 41377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39778 / 41377 ti = "16/39778/41377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39778/41377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39778 ÷ 216
    39778 ÷ 65536     		x = 0.606964111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41377 ÷ 216
    41377 ÷ 65536     		y = 0.631362915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606964111328125 × 2 - 1) × π
    0.21392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67207533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631362915039062 × 2 - 1) × π
    -0.262725830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.825377537658127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67207533} λ = 0.67207533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825377537658127))-π/2
    2×atan(0.438069573480098)-π/2
    2×0.412888409824084-π/2
    0.825776819648167-1.57079632675     		φ = -0.74501951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67207533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.507080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74501951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.686474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39778 KachelY 41377 0.67207533 -0.74501951 38.507080 -42.686474
    Oben rechts KachelX + 1 39779 KachelY 41377 0.67217121 -0.74501951 38.512573 -42.686474
    Unten links KachelX 39778 KachelY + 1 41378 0.67207533 -0.74508998 38.507080 -42.690511
    Unten rechts KachelX + 1 39779 KachelY + 1 41378 0.67217121 -0.74508998 38.512573 -42.690511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74501951--0.74508998) × R
    7.04700000000447e-05 × 6371000     		dl = 448.964370000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74501951--0.74508998) × R
    7.04700000000447e-05 × 6371000     		dr = 448.964370000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67207533-0.67217121) × cos(-0.74501951) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.735074675011418 × 6371000     		do = 449.021453141469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67207533-0.67217121) × cos(-0.74508998) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.735026895502136 × 6371000     		du = 448.99226695751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74501951)-sin(-0.74508998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735074675011418-0.735026895502136)×R²
    abs(0.67217121-0.67207533)×4.77795092823641e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77795092823641e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77795092823641e-05×40589641000000     		ar = 201588.08213104m²