Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39778 / 32482
↖ ↑ ↗
← N 66.824359°
W 70.746460°		 ← 120.20 m → N 66.824359°
W 70.743713°		 →
↑
120.22 m
↓
↑
120.22 m
↓
N 66.823278°
W 70.746460°		 ← 120.21 m →
14 451 m²		 N 66.823278°
W 70.743713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303485870361328 y=0.247821807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303485870361328 × 217)
    floor (0.303485870361328 × 131072)
    floor (39778.5)     		tx = 39778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247821807861328 × 217)
    floor (0.247821807861328 × 131072)
    floor (32482.5)     		ty = 32482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39778 / 32482 ti = "17/39778/32482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39778/32482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39778 ÷ 217
    39778 ÷ 131072     		x = 0.303482055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32482 ÷ 217
    32482 ÷ 131072     		y = 0.247817993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303482055664062 × 2 - 1) × π
    -0.393035888671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.23475866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247817993164062 × 2 - 1) × π
    0.504364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58450628004134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23475866} λ = -1.23475866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58450628004134))-π/2
    2×atan(4.87688296956373)-π/2
    2×1.36855070182408-π/2
    2.73710140364816-1.57079632675     		φ = 1.16630508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23475866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.746460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16630508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.824359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39778 KachelY 32482 -1.23475866 1.16630508 -70.746460 66.824359
    Oben rechts KachelX + 1 39779 KachelY 32482 -1.23471072 1.16630508 -70.743713 66.824359
    Unten links KachelX 39778 KachelY + 1 32483 -1.23475866 1.16628621 -70.746460 66.823278
    Unten rechts KachelX + 1 39779 KachelY + 1 32483 -1.23471072 1.16628621 -70.743713 66.823278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16630508-1.16628621) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dl = 120.220770000734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16630508-1.16628621) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dr = 120.220770000734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23475866--1.23471072) × cos(1.16630508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393551113108673 × 6371000     		do = 120.200639948961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23475866--1.23471072) × cos(1.16628621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393568460281243 × 6371000     		du = 120.205938221981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16630508)-sin(1.16628621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393551113108673-0.393568460281243)×R²
    abs(-1.23471072--1.23475866)×1.73471725699592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73471725699592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73471725699592e-05×40589641000000     		ar = 14450.9319709025m²