Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39777 / 32609
↖ ↑ ↗
← N 66.686697°
W 70.749207°		 ← 120.87 m → N 66.686697°
W 70.746460°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
N 66.685610°
W 70.749207°		 ← 120.88 m →
14 609 m²		 N 66.685610°
W 70.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303478240966797 y=0.248790740966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303478240966797 × 217)
    floor (0.303478240966797 × 131072)
    floor (39777.5)     		tx = 39777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248790740966797 × 217)
    floor (0.248790740966797 × 131072)
    floor (32609.5)     		ty = 32609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39777 / 32609 ti = "17/39777/32609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39777/32609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39777 ÷ 217
    39777 ÷ 131072     		x = 0.303474426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32609 ÷ 217
    32609 ÷ 131072     		y = 0.248786926269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303474426269531 × 2 - 1) × π
    -0.393051147460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.23480660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248786926269531 × 2 - 1) × π
    0.502426147460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.57841829378959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23480660} λ = -1.23480660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57841829378959))-π/2
    2×atan(4.84728276732983)-π/2
    2×1.36734937749164-π/2
    2.73469875498328-1.57079632675     		φ = 1.16390243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23480660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.749207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16390243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.686697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39777 KachelY 32609 -1.23480660 1.16390243 -70.749207 66.686697
    Oben rechts KachelX + 1 39778 KachelY 32609 -1.23475866 1.16390243 -70.746460 66.686697
    Unten links KachelX 39777 KachelY + 1 32610 -1.23480660 1.16388346 -70.749207 66.685610
    Unten rechts KachelX + 1 39778 KachelY + 1 32610 -1.23475866 1.16388346 -70.746460 66.685610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16390243-1.16388346) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dl = 120.857869999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16390243-1.16388346) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dr = 120.857869999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23480660--1.23475866) × cos(1.16390243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395758737772447 × 6371000     		do = 120.874905345536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23480660--1.23475866) × cos(1.16388346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395776158886451 × 6371000     		du = 120.880226202173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16390243)-sin(1.16388346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395758737772447-0.395776158886451)×R²
    abs(-1.23475866--1.23480660)×1.74211140039904e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74211140039904e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74211140039904e-05×40589641000000     		ar = 14609.0051305884m²