Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39775 / 32610
↖ ↑ ↗
← N 66.685610°
W 70.754700°		 ← 120.88 m → N 66.685610°
W 70.751953°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
N 66.684523°
W 70.754700°		 ← 120.89 m →
14 617 m²		 N 66.684523°
W 70.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303462982177734 y=0.248798370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303462982177734 × 217)
    floor (0.303462982177734 × 131072)
    floor (39775.5)     		tx = 39775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248798370361328 × 217)
    floor (0.248798370361328 × 131072)
    floor (32610.5)     		ty = 32610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39775 / 32610 ti = "17/39775/32610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39775/32610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39775 ÷ 217
    39775 ÷ 131072     		x = 0.303459167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32610 ÷ 217
    32610 ÷ 131072     		y = 0.248794555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303459167480469 × 2 - 1) × π
    -0.393081665039062 × 3.1415926535     		Λ = -1.23490247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248794555664062 × 2 - 1) × π
    0.502410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57837035688997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23490247} λ = -1.23490247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57837035688997))-π/2
    2×atan(4.84705040919169)-π/2
    2×1.36733989155936-π/2
    2.73467978311871-1.57079632675     		φ = 1.16388346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23490247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.754700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16388346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.685610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39775 KachelY 32610 -1.23490247 1.16388346 -70.754700 66.685610
    Oben rechts KachelX + 1 39776 KachelY 32610 -1.23485453 1.16388346 -70.751953 66.685610
    Unten links KachelX 39775 KachelY + 1 32611 -1.23490247 1.16386448 -70.754700 66.684523
    Unten rechts KachelX + 1 39776 KachelY + 1 32611 -1.23485453 1.16386448 -70.751953 66.684523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16388346-1.16386448) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dl = 120.921580000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16388346-1.16386448) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dr = 120.921580000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23490247--1.23485453) × cos(1.16388346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395776158886451 × 6371000     		do = 120.880226202173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23490247--1.23485453) × cos(1.16386448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395793589041426 × 6371000     		du = 120.885549820154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16388346)-sin(1.16386448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395776158886451-0.395793589041426)×R²
    abs(-1.23485453--1.23490247)×1.74301549748512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74301549748512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74301549748512e-05×40589641000000     		ar = 14617.3498137324m²