Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39774 / 41378
↖ ↑ ↗
← S 42.690511°
E 38.485108°		 ← 448.95 m → S 42.690511°
E 38.490601°		 →
↑
448.96 m
↓
↑
448.96 m
↓
S 42.694549°
E 38.485108°		 ← 448.92 m →
201 554 m²		 S 42.694549°
E 38.490601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606910705566406 y=0.631385803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606910705566406 × 216)
    floor (0.606910705566406 × 65536)
    floor (39774.5)     		tx = 39774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631385803222656 × 216)
    floor (0.631385803222656 × 65536)
    floor (41378.5)     		ty = 41378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39774 / 41378 ti = "16/39774/41378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39774/41378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39774 ÷ 216
    39774 ÷ 65536     		x = 0.606903076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41378 ÷ 216
    41378 ÷ 65536     		y = 0.631378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606903076171875 × 2 - 1) × π
    0.21380615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67169184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.26275634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.825473411457367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67169184} λ = 0.67169184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825473411457367))-π/2
    2×atan(0.438027576099013)-π/2
    2×0.412853173768315-π/2
    0.825706347536629-1.57079632675     		φ = -0.74508998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67169184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.485108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74508998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.690511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39774 KachelY 41378 0.67169184 -0.74508998 38.485108 -42.690511
    Oben rechts KachelX + 1 39775 KachelY 41378 0.67178771 -0.74508998 38.490601 -42.690511
    Unten links KachelX 39774 KachelY + 1 41379 0.67169184 -0.74516045 38.485108 -42.694549
    Unten rechts KachelX + 1 39775 KachelY + 1 41379 0.67178771 -0.74516045 38.490601 -42.694549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74508998--0.74516045) × R
    7.04699999999336e-05 × 6371000     		dl = 448.964369999577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74508998--0.74516045) × R
    7.04699999999336e-05 × 6371000     		dr = 448.964369999577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67169184-0.67178771) × cos(-0.74508998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.735026895502136 × 6371000     		do = 448.945438393763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67169184-0.67178771) × cos(-0.74516045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734979112342695 × 6371000     		du = 448.916253024364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74508998)-sin(-0.74516045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735026895502136-0.734979112342695)×R²
    abs(0.67178771-0.67169184)×4.77831594412059e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77831594412059e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77831594412059e-05×40589641000000     		ar = 201553.954400859m²