Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39773 / 41420
↖ ↑ ↗
← S 42.859860°
E 38.479614°		 ← 447.77 m → S 42.859860°
E 38.485108°		 →
↑
447.75 m
↓
↑
447.75 m
↓
S 42.863887°
E 38.479614°		 ← 447.74 m →
200 482 m²		 S 42.863887°
E 38.485108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606895446777344 y=0.632026672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606895446777344 × 216)
    floor (0.606895446777344 × 65536)
    floor (39773.5)     		tx = 39773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632026672363281 × 216)
    floor (0.632026672363281 × 65536)
    floor (41420.5)     		ty = 41420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39773 / 41420 ti = "16/39773/41420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39773/41420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39773 ÷ 216
    39773 ÷ 65536     		x = 0.606887817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41420 ÷ 216
    41420 ÷ 65536     		y = 0.63201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606887817382812 × 2 - 1) × π
    0.213775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67159596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63201904296875 × 2 - 1) × π
    -0.2640380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.829500111025452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67159596} λ = 0.67159596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829500111025452))-π/2
    2×atan(0.436267317043164)-π/2
    2×0.411375328048111-π/2
    0.822750656096222-1.57079632675     		φ = -0.74804567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67159596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.479614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74804567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.859860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39773 KachelY 41420 0.67159596 -0.74804567 38.479614 -42.859860
    Oben rechts KachelX + 1 39774 KachelY 41420 0.67169184 -0.74804567 38.485108 -42.859860
    Unten links KachelX 39773 KachelY + 1 41421 0.67159596 -0.74811595 38.479614 -42.863887
    Unten rechts KachelX + 1 39774 KachelY + 1 41421 0.67169184 -0.74811595 38.485108 -42.863887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74804567--0.74811595) × R
    7.02799999999781e-05 × 6371000     		dl = 447.753879999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74804567--0.74811595) × R
    7.02799999999781e-05 × 6371000     		dr = 447.753879999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67159596-0.67169184) × cos(-0.74804567) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.733019617795804 × 6371000     		do = 447.766118399826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67159596-0.67169184) × cos(-0.74811595) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.732971811002611 × 6371000     		du = 447.73691554945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74804567)-sin(-0.74811595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733019617795804-0.732971811002611)×R²
    abs(0.67169184-0.67159596)×4.78067931929393e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78067931929393e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78067931929393e-05×40589641000000     		ar = 200482.479083705m²