Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39761 / 41391
↖ ↑ ↗
← S 42.742978°
E 38.413696°		 ← 448.57 m → S 42.742978°
E 38.419189°		 →
↑
448.58 m
↓
↑
448.58 m
↓
S 42.747012°
E 38.413696°		 ← 448.54 m →
201 212 m²		 S 42.747012°
E 38.419189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606712341308594 y=0.631584167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606712341308594 × 216)
    floor (0.606712341308594 × 65536)
    floor (39761.5)     		tx = 39761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631584167480469 × 216)
    floor (0.631584167480469 × 65536)
    floor (41391.5)     		ty = 41391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39761 / 41391 ti = "16/39761/41391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39761/41391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39761 ÷ 216
    39761 ÷ 65536     		x = 0.606704711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41391 ÷ 216
    41391 ÷ 65536     		y = 0.631576538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606704711914062 × 2 - 1) × π
    0.213409423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67044548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631576538085938 × 2 - 1) × π
    -0.263153076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.826719770847488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67044548} λ = 0.67044548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826719770847488))-π/2
    2×atan(0.437481976393696)-π/2
    2×0.412395313486726-π/2
    0.824790626973452-1.57079632675     		φ = -0.74600570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67044548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.413696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74600570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.742978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39761 KachelY 41391 0.67044548 -0.74600570 38.413696 -42.742978
    Oben rechts KachelX + 1 39762 KachelY 41391 0.67054135 -0.74600570 38.419189 -42.742978
    Unten links KachelX 39761 KachelY + 1 41392 0.67044548 -0.74607611 38.413696 -42.747012
    Unten rechts KachelX + 1 39762 KachelY + 1 41392 0.67054135 -0.74607611 38.419189 -42.747012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74600570--0.74607611) × R
    7.04099999999652e-05 × 6371000     		dl = 448.582109999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74600570--0.74607611) × R
    7.04099999999652e-05 × 6371000     		dr = 448.582109999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67044548-0.67054135) × cos(-0.74600570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734405694500642 × 6371000     		do = 448.566016419339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67044548-0.67054135) × cos(-0.74607611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734357904656667 × 6371000     		du = 448.536826967108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74600570)-sin(-0.74607611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734405694500642-0.734357904656667)×R²
    abs(0.67054135-0.67044548)×4.77898439753544e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77898439753544e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77898439753544e-05×40589641000000     		ar = 201212.143269881m²