Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3976 / 2930
↖ ↑ ↗
← N 74.856413°
W 92.636719°		 ← 638.26 m → N 74.856413°
W 92.614746°		 →
↑
638.44 m
↓
↑
638.44 m
↓
N 74.850672°
W 92.636719°		 ← 638.50 m →
407 567 m²		 N 74.850672°
W 92.614746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242706298828125 y=0.178863525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242706298828125 × 214)
    floor (0.242706298828125 × 16384)
    floor (3976.5)     		tx = 3976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.178863525390625 × 214)
    floor (0.178863525390625 × 16384)
    floor (2930.5)     		ty = 2930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3976 / 2930 ti = "14/3976/2930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3976/2930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3976 ÷ 214
    3976 ÷ 16384     		x = 0.24267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2930 ÷ 214
    2930 ÷ 16384     		y = 0.1788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24267578125 × 2 - 1) × π
    -0.5146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.61681575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1788330078125 × 2 - 1) × π
    0.642333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.01795172640588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61681575} λ = -1.61681575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01795172640588))-π/2
    2×atan(7.52290018420272)-π/2
    2×1.43864360126461-π/2
    2.87728720252922-1.57079632675     		φ = 1.30649088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61681575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30649088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.856413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3976 KachelY 2930 -1.61681575 1.30649088 -92.636719 74.856413
    Oben rechts KachelX + 1 3977 KachelY 2930 -1.61643226 1.30649088 -92.614746 74.856413
    Unten links KachelX 3976 KachelY + 1 2931 -1.61681575 1.30639067 -92.636719 74.850672
    Unten rechts KachelX + 1 3977 KachelY + 1 2931 -1.61643226 1.30639067 -92.614746 74.850672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30649088-1.30639067) × R
    0.000100209999999823 × 6371000     		dl = 638.437909998872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30649088-1.30639067) × R
    0.000100209999999823 × 6371000     		dr = 638.437909998872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61681575--1.61643226) × cos(1.30649088) × R
    0.000383489999999931 × 0.261238896940652 × 6371000     		do = 638.262736728572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61681575--1.61643226) × cos(1.30639067) × R
    0.000383489999999931 × 0.261335625754182 × 6371000     		du = 638.499065996407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30649088)-sin(1.30639067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.261238896940652-0.261335625754182)×R²
    abs(-1.61643226--1.61681575)×9.67288135296229e-05×R²
    0.000383489999999931×9.67288135296229e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.67288135296229e-05×40589641000000     		ar = 407566.568790971m²