Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39758 / 41394
↖ ↑ ↗
← S 42.755080°
E 38.397217°		 ← 448.48 m → S 42.755080°
E 38.402710°		 →
↑
448.45 m
↓
↑
448.45 m
↓
S 42.759113°
E 38.397217°		 ← 448.45 m →
201 116 m²		 S 42.759113°
E 38.402710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606666564941406 y=0.631629943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606666564941406 × 216)
    floor (0.606666564941406 × 65536)
    floor (39758.5)     		tx = 39758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631629943847656 × 216)
    floor (0.631629943847656 × 65536)
    floor (41394.5)     		ty = 41394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39758 / 41394 ti = "16/39758/41394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39758/41394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39758 ÷ 216
    39758 ÷ 65536     		x = 0.606658935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41394 ÷ 216
    41394 ÷ 65536     		y = 0.631622314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606658935546875 × 2 - 1) × π
    0.21331787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67015786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631622314453125 × 2 - 1) × π
    -0.26324462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.827007392245209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67015786} λ = 0.67015786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827007392245209))-π/2
    2×atan(0.437356165310016)-π/2
    2×0.412289708399332-π/2
    0.824579416798665-1.57079632675     		φ = -0.74621691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67015786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.397217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74621691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.755080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39758 KachelY 41394 0.67015786 -0.74621691 38.397217 -42.755080
    Oben rechts KachelX + 1 39759 KachelY 41394 0.67025373 -0.74621691 38.402710 -42.755080
    Unten links KachelX 39758 KachelY + 1 41395 0.67015786 -0.74628730 38.397217 -42.759113
    Unten rechts KachelX + 1 39759 KachelY + 1 41395 0.67025373 -0.74628730 38.402710 -42.759113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74621691--0.74628730) × R
    7.03899999999757e-05 × 6371000     		dl = 448.454689999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74621691--0.74628730) × R
    7.03899999999757e-05 × 6371000     		dr = 448.454689999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67015786-0.67025373) × cos(-0.74621691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734262327624382 × 6371000     		do = 448.478449684696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67015786-0.67025373) × cos(-0.74628730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734214540438614 × 6371000     		du = 448.449261856066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74621691)-sin(-0.74628730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734262327624382-0.734214540438614)×R²
    abs(0.67025373-0.67015786)×4.77871857678114e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77871857678114e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77871857678114e-05×40589641000000     		ar = 201115.719498955m²