Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3975 / 2679
↖ ↑ ↗
← S 48.400033°
E169.365234°		 ← 6 488.54 m → S 48.400033°
E169.453125°		 →
↑
6 484.79 m
↓
↑
6 484.79 m
↓
S 48.458352°
E169.365234°		 ← 6 481.10 m →
42 052 653 m²		 S 48.458352°
E169.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9705810546875 y=0.6541748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9705810546875 × 212)
    floor (0.9705810546875 × 4096)
    floor (3975.5)     		tx = 3975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6541748046875 × 212)
    floor (0.6541748046875 × 4096)
    floor (2679.5)     		ty = 2679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3975 / 2679 ti = "12/3975/2679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3975/2679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3975 ÷ 212
    3975 ÷ 4096     		x = 0.970458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2679 ÷ 212
    2679 ÷ 4096     		y = 0.654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.970458984375 × 2 - 1) × π
    0.94091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.95598098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.30810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.967941877128174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95598098} λ = 2.95598098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967941877128174))-π/2
    2×atan(0.379864040998716)-π/2
    2×0.363028200841975-π/2
    0.726056401683951-1.57079632675     		φ = -0.84473993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95598098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.365234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84473993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.400033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3975 KachelY 2679 2.95598098 -0.84473993 169.365234 -48.400033
    Oben rechts KachelX + 1 3976 KachelY 2679 2.95751496 -0.84473993 169.453125 -48.400033
    Unten links KachelX 3975 KachelY + 1 2680 2.95598098 -0.84575779 169.365234 -48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 3976 KachelY + 1 2680 2.95751496 -0.84575779 169.453125 -48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84473993--0.84575779) × R
    0.00101785999999993 × 6371000     		dl = 6484.78605999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84473993--0.84575779) × R
    0.00101785999999993 × 6371000     		dr = 6484.78605999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95598098-2.95751496) × cos(-0.84473993) × R
    0.00153398000000005 × 0.663925784885643 × 6371000     		do = 6488.53778580355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95598098-2.95751496) × cos(-0.84575779) × R
    0.00153398000000005 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 6481.09567659658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84473993)-sin(-0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663925784885643-0.663164286939641)×R²
    abs(2.95751496-2.95598098)×0.000761497946002332×R²
    0.00153398000000005×0.000761497946002332×6371000²
    0.00153398000000005×0.000761497946002332×40589641000000     		ar = 42052652.7708195m²