Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39746 / 9025
↖ ↑ ↗
← N 78.277085°
E 38.331299°		 ← 124.10 m → N 78.277085°
E 38.336792°		 →
↑
124.11 m
↓
↑
124.11 m
↓
N 78.275969°
E 38.331299°		 ← 124.11 m →
15 402 m²		 N 78.275969°
E 38.336792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606483459472656 y=0.137718200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606483459472656 × 216)
    floor (0.606483459472656 × 65536)
    floor (39746.5)     		tx = 39746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137718200683594 × 216)
    floor (0.137718200683594 × 65536)
    floor (9025.5)     		ty = 9025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39746 / 9025 ti = "16/39746/9025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39746/9025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39746 ÷ 216
    39746 ÷ 65536     		x = 0.606475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9025 ÷ 216
    9025 ÷ 65536     		y = 0.137710571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606475830078125 × 2 - 1) × π
    0.21295166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66900737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137710571289062 × 2 - 1) × π
    0.724578857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27633161535799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66900737} λ = 0.66900737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27633161535799))-π/2
    2×atan(9.74088148751821)-π/2
    2×1.46849459804954-π/2
    2.93698919609909-1.57079632675     		φ = 1.36619287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66900737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.331299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36619287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.277085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39746 KachelY 9025 0.66900737 1.36619287 38.331299 78.277085
    Oben rechts KachelX + 1 39747 KachelY 9025 0.66910324 1.36619287 38.336792 78.277085
    Unten links KachelX 39746 KachelY + 1 9026 0.66900737 1.36617339 38.331299 78.275969
    Unten rechts KachelX + 1 39747 KachelY + 1 9026 0.66910324 1.36617339 38.336792 78.275969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36619287-1.36617339) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dl = 124.107079999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36619287-1.36617339) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dr = 124.107079999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66900737-0.66910324) × cos(1.36619287) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203178903929047 × 6371000     		do = 124.099189641864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66900737-0.66910324) × cos(1.36617339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203197977569462 × 6371000     		du = 124.110839588159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36619287)-sin(1.36617339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203178903929047-0.203197977569462)×R²
    abs(0.66910324-0.66900737)×1.90736404148684e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90736404148684e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90736404148684e-05×40589641000000     		ar = 15402.3109779663m²