Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3974 / 2938
↖ ↑ ↗
← N 74.810424°
W 92.680664°		 ← 640.16 m → N 74.810424°
W 92.658692°		 →
↑
640.29 m
↓
↑
640.29 m
↓
N 74.804666°
W 92.680664°		 ← 640.39 m →
409 958 m²		 N 74.804666°
W 92.658692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242584228515625 y=0.179351806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242584228515625 × 214)
    floor (0.242584228515625 × 16384)
    floor (3974.5)     		tx = 3974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179351806640625 × 214)
    floor (0.179351806640625 × 16384)
    floor (2938.5)     		ty = 2938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3974 / 2938 ti = "14/3974/2938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3974/2938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3974 ÷ 214
    3974 ÷ 16384     		x = 0.2425537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2938 ÷ 214
    2938 ÷ 16384     		y = 0.1793212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.514892578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.61758274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1793212890625 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0148837648302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61758274} λ = -1.61758274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0148837648302))-π/2
    2×atan(7.49985558354994)-π/2
    2×1.43824227189242-π/2
    2.87648454378483-1.57079632675     		φ = 1.30568822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61758274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30568822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.810424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3974 KachelY 2938 -1.61758274 1.30568822 -92.680664 74.810424
    Oben rechts KachelX + 1 3975 KachelY 2938 -1.61719925 1.30568822 -92.658692 74.810424
    Unten links KachelX 3974 KachelY + 1 2939 -1.61758274 1.30558772 -92.680664 74.804666
    Unten rechts KachelX + 1 3975 KachelY + 1 2939 -1.61719925 1.30558772 -92.658692 74.804666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30568822-1.30558772) × R
    0.000100500000000059 × 6371000     		dl = 640.285500000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30568822-1.30558772) × R
    0.000100500000000059 × 6371000     		dr = 640.285500000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61758274--1.61719925) × cos(1.30568822) × R
    0.000383489999999931 × 0.262013599675893 × 6371000     		do = 640.155501909166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61758274--1.61719925) × cos(1.30558772) × R
    0.000383489999999931 × 0.262110587302726 × 6371000     		du = 640.392463513491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30568822)-sin(1.30558772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262013599675893-0.262110587302726)×R²
    abs(-1.61719925--1.61758274)×9.69876268329672e-05×R²
    0.000383489999999931×9.69876268329672e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.69876268329672e-05×40589641000000     		ar = 409958.147503178m²