Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39733 / 41385
↖ ↑ ↗
← S 42.718768°
E 38.259888°		 ← 448.79 m → S 42.718768°
E 38.265381°		 →
↑
448.71 m
↓
↑
448.71 m
↓
S 42.722804°
E 38.259888°		 ← 448.76 m →
201 369 m²		 S 42.722804°
E 38.265381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606285095214844 y=0.631492614746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606285095214844 × 216)
    floor (0.606285095214844 × 65536)
    floor (39733.5)     		tx = 39733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631492614746094 × 216)
    floor (0.631492614746094 × 65536)
    floor (41385.5)     		ty = 41385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39733 / 41385 ti = "16/39733/41385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39733/41385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39733 ÷ 216
    39733 ÷ 65536     		x = 0.606277465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41385 ÷ 216
    41385 ÷ 65536     		y = 0.631484985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606277465820312 × 2 - 1) × π
    0.212554931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66776101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631484985351562 × 2 - 1) × π
    -0.262969970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.826144528052048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66776101} λ = 0.66776101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826144528052048))-π/2
    2×atan(0.437733707144961)-π/2
    2×0.412606585512917-π/2
    0.825213171025833-1.57079632675     		φ = -0.74558316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66776101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.259888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74558316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.718768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39733 KachelY 41385 0.66776101 -0.74558316 38.259888 -42.718768
    Oben rechts KachelX + 1 39734 KachelY 41385 0.66785689 -0.74558316 38.265381 -42.718768
    Unten links KachelX 39733 KachelY + 1 41386 0.66776101 -0.74565359 38.259888 -42.722804
    Unten rechts KachelX + 1 39734 KachelY + 1 41386 0.66785689 -0.74565359 38.265381 -42.722804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74558316--0.74565359) × R
    7.04299999999547e-05 × 6371000     		dl = 448.709529999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74558316--0.74565359) × R
    7.04299999999547e-05 × 6371000     		dr = 448.709529999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66776101-0.66785689) × cos(-0.74558316) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.734692411370044 × 6371000     		do = 448.787946830386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66776101-0.66785689) × cos(-0.74565359) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.734644629809916 × 6371000     		du = 448.758759393664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74558316)-sin(-0.74565359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734692411370044-0.734644629809916)×R²
    abs(0.66785689-0.66776101)×4.77815601285236e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77815601285236e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77815601285236e-05×40589641000000     		ar = 201368.880434477m²